大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問106 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問2)

解答　エ: (k-kt)

解説

【表記に関する注意】

ここではベクトルを上に矢印をつけず右に添えて「OA→」などのように表記します。

エとオを合わせて解説します。

点Pは線分ABを t : (1-t) に内分する点であるので、

(OP→) = (1-t) (OA→) + t (OB→)　…(※)

となります。

(OQ→)

= k(OP→) 

= k{(1-t) (OA→) + t (OB→)}　(※を利用)

= k(1-t) (OA→) + kt (OB→)

= (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　…①

よって答えは　エ: (k-kt)　オ: kt　となります。

補足

式(※)について、tと(1-t)をそれぞれ(OA→)と(OB→)のどちらにかけるか迷ったときは、

t = 0 を代入して(OP→) = (OA→)になるかどうかを確認してみるとよいでしょう。

また、式(※)は以下のようにして導出できます。

問題設定より　(AP→) = t (AB→)

始点をOにそろえて　(OP→) - (OA→) = t ((OB→) - (OA→))

式を整理して　(OP→) = (1-t) (OA→) + t (OB→)　…(※)

※この問題では「ベクトルa」を「→a」と表記します。

この問題は、「→OQを→OAと→OBを用いて表せ」という問題です。

また問題文より、→OQ=k(→OP)なので、→OQが知りたかったら→OPを求めればよさそうです。

ここで→OPに関する情報として、「線分ABをt:(1-t)に内分する点をP」とありますので、これを利用しましょう。

このような場合に→OPを表す式は、

　→OP=(1-t)(→OA) + t(→OB)

となります（内分点のベクトル）。

これで→OPがもとまったので、→OQ=k(→OP)に代入して→OQを求めます。

　→OQ＝k｛(1-t)(→OA)+t(→OB)｝=k(1-t)(→OA) + kt(→OB)

展開して、

　→OQ=(k-kt)(→OA) + kt(→OB)

となります。