大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問105 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問1)

解答　ア: －(マイナス)　イ: 2　ウ: 3　(アイ/ウ: －2/3)

解説

【表記に関する注意】

ここではベクトルを上に矢印をつけず右に添えて「OA→」などのように表記します。

まず (OA→)も (OB→) も大きさ1のベクトル(単位ベクトル)であり、つまり

|OA→|=|OB→|=1 であるので、

　(OA→)・(OB→) = |OA→| |OB→| cos ∠AOB = cos ∠AOB　…(式1)

となります。一方で問題文より、

　(OA→)・(OB→) = -2/3　…(式2)

です。　(式1)と(式2)より、

答えは　 cos ∠AOB = -2/3　つまり　アイ/ウ: －2/3　となります。

※この問題では「ベクトルa」を「→a」と表記します。

「→OA・→OB」は→OAと→OBの内積を表します。ここで内積の定義を確認しておきましょう。

→aと→bの内積を→a・→b、→aと→bのなす角をθとすると、

　→a・→b=|→a||→b|cosθ

と表すことができます。

この問題では、cos∠AOBを求めます。

→OA・→OB=|→OA||→OB|cos∠AOB・・・・(＊)

→OA・→OB、|→OA|、|→OB|の3つが分かれば、それらを(＊)に代入すれば求めることができます。

まず問題文より→OA・→OB=-2/3です。OA、OBは円の半径なので、

|→OA|=|→OB|=1となります。

最後にこれらを(＊)に代入すると、

-2/3=1×1×cos∠AOB

よって、cos∠AOB=-2/3となります。