大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問109 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問5)

解答　キ: kt

解説

【表記に関する注意】

ここではベクトルを上に矢印をつけず右に添えて「OA→」などのように表記します。

カとキを合わせて解説します。

以下は直前の問題(カ)と全く同一の解説文になります。

前問より　エ: (k-kt)　オ: kt　つまり

(OQ→) = (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　…①

でした。

問題文より、

(OC→) = - (OA→)　つまり　(CO→) = (OA→)　

であることに注意して、

(CQ→)

= (CO→) + (OQ→)

= (OA→) + (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　(①を代入)

= (k-kt+1) (OA→) + kt (OB→)

よって答えは　カ: (k-kt+1)　キ: kt　となります。

補足

以下はエとオの解説です(前問より引用)。

点Pは線分ABを t : (1-t) に内分する点であるので、

(OP→) = (1-t) (OA→) + t (OB→)　…(※)

となります。

 

(OQ→)

= k(OP→) 

= k{(1-t) (OA→) + t (OB→)}　(※を利用)

= k(1-t) (OA→) + kt (OB→)

= (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　…①

 

よって答えは　エ: (k-kt)　オ: kt　となります。

※この問題では「ベクトルa」を「→a」と表記します。

（カ）と同様です。

→CQを→OAと→OBで表す問題です。

いきなり→OAと→OBで表すのは難しそうなので、まずは→CQを言い換えます。

ベクトルの引き算の定義より、　

　→CQ=(→OQ)−(→OC)・・・・・（＊）

→OQと→OCをそれぞれ→OAと→OBを用いて表し、（＊）に代入しましょう。

（エ）・（オ）より、

　→OQ=(k-kt)(→OA)+kt(→OB)

また問題文より、

　→OC=−(→OA)

これらを（＊）に代入すると、

　→CQ＝｛(k-kt)(→OA)+kt(→OB)｝−(−(→OA))

となります。これを展開することによって、

　→CQ=(k-kt+1)→OA + kt(→OB)

と表せます。