大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問110 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問6)

この回答例では、ベクトルABを→ABと表すこととします。

→OAと→OPが垂直になる時、内積がゼロになることを用いてtの値を求めます。

前問より

→OP　＝　(1-t)→OA ＋t→OB

なので

→OA*→OP　= (→OA)*((1-t)→OA ＋t→OB)
          = (1-t) (→OA)*(→OA) ＋　t→OA*→OB
          = (1-t) |→OA|²　＋　t →OA*→OB
ここで　Aは点Oを中心とする半径1の円周上にある点にある、

また問題文より|→OA| = 1、→OA*→OB　= -2/3となるので、

式に数値を代入して
 　与式 = (1-t) ＋　(- 2/3)t
          = 1 - 5/3t

→OA*→OP = 0 
より
　1 - 5/3t = 0

となるので、

    t = 3/5

という解が求められます。

解答　ク: 3　ケ: 5　(t = 3／5)

解説

【表記に関する注意】

ここではベクトルを上に矢印をつけず右に添えて「OA→」などのように表記します。

(OA→)と(OP→)が垂直になる条件を求める問題です。

(OA→)と(OP→)の内積がゼロになる条件を求めます。

まずは(OA→)と(OP→)の内積をtの式で表しましょう。

点Pは線分ABを t : (1-t) に内分する点であるので、

(OP→) = (1-t) (OA→) + t (OB→)　…(※)

となります。

問題文より　|OA→|=1 、(OA→)・(OB→) = -2/3　であることに注意して、

(OA→)・(OP→) 

= (1-t) |OA→|² + t (OA→)・(OB→)

= (1-t) - (2/3) t

= 1 - (5/3)t

と求まります。これで(OA→)と(OP→)の内積をtの式で表せました。

「(OA→)・(OP→) = 0」

⇔「1 - (5/3)t = 0」

⇔「(5/3)t = 1」

⇔「t = 3/5」

よって答えは　t = 3/5　つまり　ク: 3　ケ: 5　となります。

※この問題では「ベクトルa」を「→a」と表記します。

→OA⊥→OPのときのtの値を求めます。

ベクトルの垂直条件は「内積が0」です。

つまりこの問題では→OAと→OPの内積が0となるtの値を求めます。

では実際に→OAと→OPの内積（→OA・→OP）を計算します。→OPは（エ）・（オ）を求める時にすでに求めており、

　→OP=(1-t)(→OA)+t(→OB)

です。

　→OA・→OP＝→OA・｛(1-t)(→OA)+t(→OB)｝

これを展開して、

　→OA・→OP＝(1-t)|→OA|²+t(→OA・→OB)

となります。

ここで、OAは円の半径なので|→OA|=1、問題文より→OA・→OB=-2/3です。

これらを代入して、

　→OA・→OP＝(1-t)・1²+t（-2/3）=1-t+(-2t/3)=(-5t/3)+1

となります。

→OA・→OP=0となるので、

　(-5t/3)+1=0

この一次方程式を解いて、t=3/5ともとまります。