大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問111 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問7)

解答　コ: 3　サ: 5　シ: 3

解説

【表記に関する注意】

ここではベクトルを上に矢印をつけず右に添えて「OA→」などのように表記します。

前問より　カ: (k-kt+1)　キ: kt　つまり

(CQ→) = (k-kt+1) (OA→) + kt (OB→)

です。

ここで問題文より

(OC→) = - (OA→)　つまり　(CO→) = (OA→)、

|OA→|=1 、(OA→)・(OB→) = -2/3

であることに注意して、

(CO→)と(CQ→)の内積をk, tを用いた式で表すと、

(CO→)・(CQ→)

= (OA→)・(CQ→)

=  (k-kt+1) |OA→|² + kt (OA→)・(OB→)

=  (k-kt+1) - (2/3) kt

=  k + 1 - (5/3) kt　…(式1)

となります。

一方、今∠OCQ が直角(つまり(CO→)と(CQ→)のなす角が直角)である場合を

考えているから、

(CO→)・(CQ→) = 0　…(式2)

となります。

(式1)と(式2)より、

k + 1 - (5/3) kt = 0

であり、これをkについての1次方程式と見て、

3k + 3 - (5t)k = 0　(両辺3倍)

(5t - 3)k = 3

k = 3/(5t-3)　(問題文より今 t≠3/5 の場合を考えているので5t-3で割ってよい)

よって答えは　k = 3/(5t-3)　…②　つまり　コ: 3　サ: 5　シ: 3　となります。

補足

この問題ではカキの答えを利用します。カキにはエオの答えを利用します。

以下にエオカキの解説を示します(前問より引用)。

エ・オの解説

点Pは線分ABを t : (1-t) に内分する点であるので、

(OP→) = (1-t) (OA→) + t (OB→)　…(※)

となります。

 

(OQ→)

= k(OP→) 

= k((1-t) (OA→) + t (OB→))　(※を利用)

= k(1-t) (OA→) + kt (OB→)

= (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　…①

 

よって答えは　エ: (k-kt)　オ: kt　となります。

カ・キの解説

問題文より、

(OC→) = - (OA→)　つまり　(CO→) = (OA→)

であることに注意して、

 

(CQ→)

= (CO→) + (OQ→)

= (OA→) + (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　(①を代入)

= (k-kt+1) (OA→) + kt (OB→)

 

よって答えは　カ: (k-kt+1)　キ: kt　となります。

※この問題では「ベクトルa」を「→a」と表記します。

∠OCQが直角なので、(→OC)⊥(→CQ)です。

よって、垂直条件（内積が0）　

　→OC・→CQ=0

をこの問題では使用します。

問題文より、→OC＝−(→OA)

（カ）・（キ）より、→CQ=(k−kt+1)(→OA)+kt(→OB)

の2つがわかっているので、この二つのベクトルの内積を計算します。

　→OC・→CQ=−(→OA)・｛(k−kt+1)(→OA)+kt(→OB)｝

展開すると、

　→OC・→CQ=−(k−kt+1)|→OA|²−kt(→OA・→OB)

ここでOAは円の半径より|→OA|=1、問題文より→OA・→OB=-2/3より、

　→OC・→CQ=−(k−kt+1)・1²−kt(−2/3)=(5t/3−1)k−1

となります。

これが0になるので、

　(5t/3−1)k−1=0

k＝の形に変形して、k=3/(5t-3)となります。