大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問112 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問8)

解答　ス: D2に含まれ、かつE2に含まれる

【表記に関する注意】

ここではベクトルを上に矢印をつけず右に添えて「OA→」などのように表記します。

簡潔な解説

まず②を①に代入して

(OQ→) = {3(1-t)/(5t-3)} (OA→) + {3t/(5t-3)} (OB→)

となります。0 < t < 3/5 のとき、

(OA→)の係数が負なので、QはAを含まない側であるE2に含まれる

(OB→)の係数が負なので、QはBを含まない側であるD2に含まれる

とわかります。よって答えは「D2に含まれ、かつE2に含まれる」となります。

詳細な解説

前問より　コ: 3　サ: 5　シ: 3　つまり　k = 3/(5t-3)　…②

であることを求めました(ここでは解説は省略)。

点Pは線分ABを t : (1-t) に内分する点であるので、

(OP→) = (1-t) (OA→) + t (OB→)　…(※)

となります。

(※)と②を用いて、

(OQ→) 

= k(OP→) 

= k{(1-t) (OA→) + t (OB→)}

= {3(1-t)/(5t-3)} (OA→) + {3t/(5t-3)} (OB→)　…(★)

となります。

さて、今考えている平面上の任意の点Xの位置ベクトルは、実数 x,y を用いて

(OX→) = x(OA→) + y(OB→)

の形で表せます。この係数x,yをそれぞれx座標、y座標と呼ぶことにし、

点Xの座標をX(x, y)と表現することにします。

(★)より、

点Qのx座標は 3(1-t)/(5t-3)

点Qのy座標は 3t/(5t-3)

ということになり、まとめると Q( 3(1-t)/(5t-3),  3t/(5t-3) ) となります。

3点O, A, Bを反時計回りに配置し、

直線OAを“x軸”のように、直線OBを“y軸”のようにみなせば、

D1かつE1( y>0 かつ x>0 )の領域は“第1象限”

D1かつE2( y>0 かつ x<0 )の領域は“第2象限”

D2かつE2( y<0 かつ x<0 )の領域は“第3象限”

D2かつE1( y<0 かつ x>0 )の領域は“第4象限”

のようにみなせます。

前問で求めた　ク:3　ケ:5　を用います(解説は省略)。

0 < t < 3/5 のとき、「1-t > 0」と「5t-3 < 0」であることに注意して、

点Qのx座標について　3(1-t)/(5t-3) < 0 (負)

点Qのy座標について　3t/(5t-3) < 0 (負)

となるので、点Qは“第3象限”つまりD2かつE2の領域にあります。

よって答えは「ス: D2に含まれ、かつE2に含まれる」になります。

この問題は、これまでの問題で分かったことを図に書くと下のようになります。

ここで、∠ACQ=90°より、直線CQは円の接線になります。

また、0<t<クケなので、∠AOP<90°となるように図を書きます。

この図を見ると、QはD2かつE2の領域にあることがわかります。