大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問117 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問13)

解答　テ: 3　ト: 4　　(3／4)

解説

【表記に関する注意】

ここではベクトルを上に矢印をつけず右に添えて「OA→」などのように表記します。

この問題ではエ・オ・チ・ツの答えを利用します。

t≠1/2 のときに|OQ→| = √6 となるようなtの値を求めます。

問題文の誘導に従い、|OR→| = √6 となるようなtの値を求めましょう。

まず(OR→)を(OA→)と(OB→)を用いて表した式を求めます。

前問より　チ: 2　ツ: 3　つまり

(CR→)=2 (OA→) + 3 (OB→)　

でした。これを用いて、

(OR→)

= (OC→)+(CR→) 

= -(OA→)+2(OA→)+3(OB→) (問題文中の(OC→) = -(OA→)より)

= (OA→)+3(OB→)　…(式1)

となります。

一方、①(エ: k-kt　オ: kt)と同様に考えて

(OR→) = (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　…(式2)

となります。

(式1)と(式2)の(OA→)と(OB→)の係数を比較して、

「k-kt = 1　かつ　kt = 3」

となります。これをkとtの連立方程式と見て解きます。

2式を足して　k=4　となります。

これを　kt = 3に代入して　4t=3　つまり　t=3/4　です。

よって答えは　t = 3/4　つまり　テ: 3　ト: 4　となります。

あるいは(式1)について、

(OA→) の係数「1」と(OB→)の係数「3」の和である「4」で式全体をくくると、

(OR→) = (OA→) + 3 (OB→) = 4{(1/4)(OA→) + (3/4)(OB→)}

であり、ここから

「Oを始点、線分ABを(1/4):(3/4)に内分する点を終点したベクトルの4倍が(OR→)である」

と読み取ることができれば、直ちに　t = 3/4　(テ: 3　ト: 4)　が得られます。

補足

以下はエ・オ・チ・ツの解説です(前問より引用)。

エ・オの解説

点Pは線分ABを t : (1-t) に内分する点であるので、

(OP→) = (1-t) (OA→) + t (OB→)　…(※)

となります。

 

(OQ→)

= k(OP→) 

= k{(1-t) (OA→) + t (OB→)}　(※を利用)

= k(1-t) (OA→) + kt (OB→)

= (k-kt) (OA→) + kt (OB→)　…①

 

よって答えは　エ: (k-kt)　オ: kt　となります。

チ・ツの解説

ソの答えを求める過程で、t = 1/2のときに

(OQ→) = -3 (OA→) -3 (OB→)　…①’’

であることを求めました(この解説はここでは省略)。これを利用します。

 

まず、直線OAに関して点Qと対称な点をRとして、前問で考えた通り

(CR→) = -(CQ→)

です（簡潔な解説: RQとOAは点Cで直交し、点CはRQの中点になっている)。

 

(CR→)

= -(CQ→)

= (QC→)

= (OC→) - (OQ→)　(始点をOにそろえる)

= -(OA→) + 3(OA→)+3 (OB→) 　(①’’と問題文中の(OC→)=-(OA→)より)

= 2(OA→)+3 (OB→)

 

よって答えは　(CR→)=2 (OA→) + 3 (OB→)　つまり　チ: 2　ツ: 3　となります。

※この問題では「ベクトルa」を「→a」と表記します。

（チ）・（ツ）より

　→CR＝2(→OA)+３(→OB)

なので、

　→OR＝(→CR)−(→CO)=(→CR)−(→OA)=2(→OA)+３(→OB)−(→OA)=→OA＋3(→OB)

つまり、

　→OR=→OA＋3(→OB)

です。

ここで上の図(t=1/2)と下の図(t≠1/2)のように、tの値によって同じ位置でもRとQの位置が入れ替わるtがあります(Pの位置は変化していますね)。

よって、「t=1/2のときの→OR」が「t≠1/2のときの→OQ」と等しくなるt(≠1/2)があるはずです。

ここで

　→OQ＝(k-kt)（→OA）＋kt(→OB)

と表すことができたので、

　→OA＋3(→OB)＝(k-kt)（→OA）＋kt(→OB)

となるk,tの値を求めれば良いです。

→OA、→OBの係数をそれぞれ比較することによって（→OAと→OBは1次独立より可能）、

　k-kt=1

　kt=3

の連立方程式を解いて、

　k=4

　t=3/4

と求められます。