大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）本試験
問116 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問12)

解答　チ: 2　ツ: 3

解説

【表記に関する注意】

ここではベクトルを上に矢印をつけず右に添えて「OA→」などのように表記します。

ソの答えを求める過程で、t = 1/2のときに

(OQ→) = -3 (OA→) -3 (OB→)　…①’’

であることを求めました(この解説はここでは省略)。これを利用します。

まず、直線OAに関して点Qと対称な点をRとして、前問で考えた通り

(CR→) = -(CQ→)

です（簡潔な解説: RQとOAは点Cで直交し、点CはRQの中点になっている)。

(CR→)

= -(CQ→)

= (QC→)

= (OC→) - (OQ→)　(始点をOにそろえる)

= -(OA→) + 3(OA→)+3 (OB→) 　(①’’と問題文中の(OC→)=-(OA→)より)

= 2(OA→)+3 (OB→)

よって答えは　(CR→)=2 (OA→) + 3 (OB→)　つまり　チ: 2　ツ: 3　となります。

※この問題では「ベクトルa」を「→a」と表記します。

（タ）より
　→CR=−（→CQ）

でした。

また、（カ）・（キ）より、

　→CQ=(k-kt+1)→OA + kt(→OB)・・・・・（＊）

でした。

いま、t=1/2なので、②よりk=−6となっています。

よってこれらを（＊）に代入して、

　→CQ＝(−6−(−6)×(1/2)+1)（→OA）+(−6)×(1/2)(→OB)＝−2(→OA)−3(→OB)

となります。

→CR=−（→CQ）より、

　→CR=2(→OA)+3(→OB)

となります。