大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問5 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問5)

解答　ク: c > (5 + √3)/6

解説

クケコをまとめて解説します。

解法1：計算で求める解法

ア～キの答えより、情報を整理すると、

c ≧ (5 + √3)/6　のとき　x = √3 c - (2√3/3)　は①の解となる

c > (5 + √3)/6　のとき　x =  (6 + √3)c/11　は①の解となる

とまとめられます(解説はここでは省略)。

参考: もし「≧」と「>」が混在していることによって混乱してしまいそうな場合は、

「c ≧ (5 + √3)/6」を「c > (5 + √3)/6　または　c = (5 + √3)/6」

と言い換えて考えてみましょう。

整理した情報から、

c > (5 + √3)/6　のときは　x = √3 c - (2√3/3)　も　x =  (6 + √3)c/11　も解になる

c = (5 + √3)/6　のときは　x = √3 c - (2√3/3)　の方だけが解になる

c < (5 + √3)/6　のときは　どちらも解にならない

となり、このことより、

「①は異なる2解をもつ」⇔「c > (5 + √3)/6」…(クの答え)

「①はただ1つ解をもつ」⇔「c = (5 + √3)/6」…(ケの答え)

「①は解をもたない」⇔「c < (5 + √3)/6」…(コの答え)

であると見当がつけられます。

あくまでこの時点では見当がついただけであって、正確に考えるには、

c > (5 + √3)/6　の範囲で　√3 c - (2√3/3)　≠  (6 + √3)c/11

であることを確認する必要があります。

cについての1次方程式　√3 c - (2√3/3) =  (6 + √3)c/11

を解いて実際に確認すると、

やや面倒な計算の末に　c = (5 + √3)/6　が得られるため、

x = √3 c - (2√3/3)　と　x =  (6 + √3)c/11　が

一致するようなcが　c > (5 + √3)/6　の範囲には

存在しないことがわかります。しかし、cが十分に大きい範囲では

解が必ず2つあることは計算しなくても直観的に理解できるはずなので、

見当をつけた時点で解答してしまってよいでしょう。

よって答えは

ク: c > (5 + √3)/6　ケ: c = (5 + √3)/6　コ: c < (5 + √3)/6

となります。

解法2：グラフを利用する解法

今考えているxの方程式

| 3x－3c＋1 |＝（3－√3）x－1　…①

の解の個数は、

y = |3x-3c+1| 　と　y = （3－√3）x－1　のグラフの共有点の個数に対応します。

それぞれのグラフの形状を考えてみます(下の図を参照)。

V字型のグラフの方が直線よりも傾きが急峻であることに注意して、図より、

「共有点が2個」⇔「c - (1/3) > (3 + √3)/6」⇔「c > (5 + √3)/6」…(クの答え)

「共有点が1個」⇔「c - (1/3) = (3 + √3)/6」⇔「c = (5 + √3)/6」…(ケの答え)

「共有点が0個」⇔「c - (1/3) < (3 + √3)/6」⇔「c < (5 + √3)/6」…(コの答え)

となります。

補足: グラフの説明

y = |3x-3c+1| のグラフは、常にy≧0となるようなV字型のグラフであり、

x ≦ c - (1/3)　のとき　(c - (1/3), 0)を通る傾き-3の直線

x ≧ c - (1/3)　のとき　(c - (1/3), 0)を通る傾き3の直線

となっています。

一方、y =（3－√3）x－1のグラフは、

 ((3 + √3)/6, 0) を通る傾き（3－√3）の直線です。

ここで、　y = （3－√3）x－1　とx軸の交点は以下のようにして求めました。

0 = （3－√3）x－1

（3－√3）x = 1 

x = 1 /（3－√3）

分母と分子に(3+√3)をかけて有理化して　x =(3 + √3)/6

ここまでの流れをまとめると、

cが（ウ）を満たすとき、x≧c−（1／3）でxは解を持ちます。

cが（キ）を満たすとき、x<c−（1／3）でxは解を持ちます。

よって、①が異なる2つの解を持つための条件は、（ウ）、（キ）をともに満たすときです。

つまり、

（ウ）：c≧(5+√3)/6

（キ）：c>(5+√3)/6

をともにみたします。

そのようなcの範囲は、c>(5+√3)/6となります。