大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問4 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問4)

解答　キ: c > (5 + √3)/6

解説

前問で

-3x+3c-1 ＝（3－√3）x－1　…④

を解き、　x =  (6 + √3)c/11　(エ: 6　オ: 1　カ: 1)　を得ました。

これが 「x < c - (1/3)」を満たすようなcの値の範囲を考えます。

(6 + √3)c/11 < c - (1/3)

(1/3) < (5 - √3)c/11

(5 - √3)c/11 > (1/3)

c > 11/(3(5 - √3))

ここで右辺について、分子と分母に(5 + √3)をかけて有理化して、

11/(3(5 - √3)) = 11(5 + √3)/3(25 - 3) = 11(5 + √3)/66 = (5 + √3)/6

なので、答えは　c > (5 + √3)/6　となります。

補足

-3x+3c-1 ＝（3－√3）x－1　…④

の解き方を補足します(前問エオカの解説より引用)。

④をxの1次方程式と見て解きます。

 

-3x+3c-1 ＝（3－√3）x－1

（6－√3）x = 3c

x = 3c/(6 - √3)

分子と分母に(6 + √3)をかけて有理化して

x = 3(6 + √3)c/(36 - 3) = 3(6 + √3)c/33 = (6 + √3)c/11

よって答えは　x =  (6 + √3)c/11　つまり　エ: 6　オ: 1　カ: 1　となります。

エオカより、x=(6+√3)c/11です。

　x＜c−（1／3）より、

　(6+√3)c/11<c−(1/3)

　c−(6+√3)c/11>1/3

　(5−√3)c/11>1/3

ここで、(5−√3)/11は正なので、

　c>11/3(5−√3)

有利化して、

　c>11(5+√3)/3(5−√3)(5+√3)

　c>11(5+√3)/3×22

　c>(5+√3)/6