大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問10 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問10)

解答　セ: 19 m

解説

前問より、∠QBC = 71° (ス: 71)です。

三角比の表から tan 71° = 2.9042　を読み取っておきます。

地面からの高さを考えることと、

フェンスとBQの交点までの距離は 6 m であることに注意して、

2 + 6 tan 71° = 2 + 6・2.9042 = 2 + 17.4252 = 19.4252

よって答えは　19 m　となります。

補足

以下は∠QBC = 71° (ス: 71)の解説です(前問より引用)。

∠QBCのおよその大きさを求める問題です。

∠QBC = ∠QBA + ∠ABC として考えます。

 

準備としてまずABの長さを求めておきます。

AQ=PQ=26-2=24に注意します。

三角形ABQは直角三角形であり、三平方の定理より

AB = √(18² + 24²) = 6 √(3² + 4²) = 6 √25 = 30

あるいは 3 : 4 : 5 の直角三角形であることに気づけば

楽に AB = 30 が求まります。

 

∠QBAを求めましょう。正弦・余弦・正接のうちどれを用いても構いませんが、

たとえば余弦なら

cos ∠QBA = 3/5 = 0.6

となり、三角比の表から余弦の値が0.6に一番近いものを探すと、

cos 53° = 0.6018

が見つかります。よって∠QBAはおよそ53°です。

 

∠ABCを求めましょう。三角形ABCについて

AB : BC : CA = 30 : 25 :10 = 6 : 5 : 2

であるので、余弦定理より、

cos ∠ABC = (6² + 5² - 2²)/(2・6・5) 

= (36+25-4)/60 = 57/60 = 19/20 = 0.95

三角比の表から余弦の値が0.95に一番近いものを探すと、

cos 18° = 0.9511

が見つかります。よって∠ABCはおよそ18°です。

 

∠QBAはおよそ53°で、∠ABCはおよそ18°ですから、

∠QBC = ∠QBA + ∠ABC はおよそ71°ということになります。

よって答えは　71°　つまり　ス: 71　となります。

フェンスの最大の高さを求めるので、あたらないぎりぎりの高さを求めれば良いです。下の図ではADよりも小さければ、条件を満たすことになります。

（ス）より、∠QBC≒71°より、AD=6tan71°（下図）

三角関数表より、AD=6×2.9042=17.4252

地面からはしごは2mあるので、

　（フェンスの高さ）＝17.4252+2=19.4252

よって、19.4252mとなります。