大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問9 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問9)

解答　ス: 71

解説

∠QBCのおよその大きさを求める問題です。

∠QBC = ∠QBA + ∠ABC として考えます。

準備としてまずABの長さを求めておきます。

AQ=PQ=26-2=24に注意します。

三角形ABQは直角三角形であり、三平方の定理より

AB = √(18² + 24²) = 6 √(3² + 4²) = 6 √25 = 30

あるいは 3 : 4 : 5 の直角三角形であることに気づけば

楽に AB = 30 が求まります。

∠QBAを求めましょう。正弦・余弦・正接のうちどれを用いても構いませんが、

たとえば余弦なら

cos ∠QBA = 3/5 = 0.6

となり、三角比の表から余弦の値が0.6に一番近いものを探すと、

cos 53° = 0.6018

が見つかります。よって∠QBAはおよそ53°です。

∠ABCを求めましょう。三角形ABCについて

AB : BC : CA = 30 : 25 :10 = 6 : 5 : 2

であるので、余弦定理より、

cos ∠ABC = (6² + 5² - 2²)/(2・6・5) 

= (36+25-4)/60 = 57/60 = 19/20 = 0.95

三角比の表から余弦の値が0.95に一番近いものを探すと、

cos 18° = 0.9511

が見つかります。よって∠ABCはおよそ18°です。

∠QBAはおよそ53°で、∠ABCはおよそ18°ですから、

∠QBC = ∠QBA + ∠ABC はおよそ71°ということになります。

よって答えは　71°　つまり　ス: 71　となります。

まず問題文を図にしてみます。はしごが地面から2mのところにあるので、AQ=24mであることに注意してください。

方針としては、cosαとcosβから三角関数表を用いてαとβを求め、それらの和（α+β）の大きさを計算します。

まず△ABQは直角三角形で、cosα=18/30=3/5=0.6（三角関数表）より、およそα=53°です。

次に△ABCですが、余弦定理より、

　10²=25²+30³−2×25×30×cosβ

これを計算して、cosβ=0.95なので、およそβ=18°

よってαとβのだいたいの大きさがもとまったので、これらを足すと、

　53+18=71

よりおよそ∠QBC=71°となります。