大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問13 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問13)

解答　ツ: 4

解説

ツに当てはまる値をxとおきます。

「AB = 4　かつ　sin ∠ BAC = 1/3　かつ　BC=x」…(※)

を満たすような三角形ABCがただ1通りに決まるようなxの値を求めます。

平面上に AB = 4 となるように 2点A, Bをとり、

点Aを通る直線 l を、直線ABとのなす角の正弦が 1/3 となるように引きます。

点Bを中心とする半径xの円を描くと、この円と直線 l の共有点が点Cの候補になります。

下の図も参考にしてください。

前問(タ: 4　チ: 3)より　x ≧ 4/3　の範囲で考えます。

x = 4/3 のとき、円と直線 l の共有点は1つだけであり、

その点をCとしたとき三角形ABCは成立するため、

三角形ABCはただ1通りに決まります。

x > 4/3 のときは円と直線 l の共有点は2つあり、

そのうちx ≠ 4のときはどちらをCとしても三角形ABCは成立しますが、

x = 4 のときは一方の点が点Aに一致するため、

(※)を満たすような三角形ABCを成立させるように

点Cを取る方法は1通りしかありません。

よって答えは　BC = 4　つまり　ツ: 4　となります。

参考

以下のような場合(円の半径x≠4)は適切な点Cが2個になります。

以下のような場合(円の半径x=4)は適切な点Cが1個のみになります。

下の図のように、Cをどこかに定めると、条件を満たすもう一つの点（C'）もあります。ここで、C'はBDに関してCと対称な点です。

たとえばCがDに一致する時は、C'=Cとなり、三角形はただ一つに定まります。

ここで、もう一つの三角形が一つに定まるときの条件を求めれば良いです。

もう一つ、三角形が一つに定まるのは、C'とAが一致するときです。つまり下の図のようになるときです。

このとき、AB=C'B=4となっています。ここで、C'はCの対称な点でしたので、C'B=CB=4となります。