大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問14 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問14)

解答　テ: 2

解説

三角形ABCについて、

AB=4、sin ∠BAC = 1/3、∠ABC = 90°

を用いてBCを求める問題です。

解法1(前の問題の答えに依存しない解法)

∠BAC は いま鋭角であることに注意して、sin ∠BAC = 1/3より

cos ∠BAC = √(1 - sin²∠BAC) = √(1 - (1/9)) = 2√2/3

tan ∠BAC = sin ∠BAC / cos ∠BAC 

= (1/3) / (2√2/3) = (1/3) ・ {3/(2√2)} = 1/(2√2) = √2/4

BC = AB tan ∠BAC = 4・ √2/4 =  √2

よって答えは　BC = √2　つまり　テ: 2　となります。

解法2(タチの答えを利用する解法)

△ABC ∽ △AHB　を利用してもBCを求められます。

下の図も参考にしてください。

点Bから直線ACに下ろした垂線の足をHとすると、

BH = AB sin ∠ BAC = 4/3　となります。

(これはタチを求めた際にすでに計算している値です)

三角形AHBについて、三平方の定理より

AH = √(42 - (4/3)2) = √(16 - 16/9) = √(128/9) = 8√2/3

△ABCと△AHBは相似な直角三角形なので、

BC : HB = AB : AH

したがって

BC = (AB・HB)/AH 

= 4・(4/3)/ (8√2/3)

= 4・(4/ (8√2) )

= 2/√2

= √2

よって答えは　BC = √2　つまり　テ: 2　となります。

問題文より、∠ABC=90°のときを考えます。また、∠BAC=θとおきます。

このとき、BCの長さは、

　BC=AB・tanθ=4×tanθ

となります。

ここで、θはsinθ＝1/3をみたします。この条件からtanθを求めましょう。

tanθ=(cosθ)/(sinθ)より、まずcosθを求めます。

三角関数の性質である

　cos²θ+sin²θ=1

を用いると、

　cos²θ+(1/3)²=1

よって、

　cos²θ=8/9

よって、

　cosθ=(2√2)/3 （∵∠ABC＝90°より、θは鋭角となるから、cosθ>0）

よって、tanθ=(1/3)/((2√2)/3)=1/(2√2)です。

　BC=AB・tanθ=4×tanθ

より、

　BC=4×(1/(2√2))=√2

となります。