大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問20 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問3)

前問 ａ＝６ の場合と全く同様の手順で解くことができます。

まず、ＡＰの値の範囲は、点Ｒが点Ｄと一致する場合の図を書いて考えるとＡＰ＝２

よって、０≦ＡＰ＜２ となります。

ＡＰ＝ｘ とおいて、四角形ＱＲＳＴの面積をｘで表します。ここで、０≦ｘ＜２ であることに注意してください。

　ＢＱ＝ＢＰ＝５－ｘ

　ＣＱ＝ＣＢ－ＱＢ＝８－(５－ｘ)＝ｘ＋３

よって、ＣＲ＝ＣＱ＝ｘ＋３

　ＤＲ＝ＤＣ－ＣＲ＝５－(ｘ＋３)＝－ｘ＋２

これより、ＱＲ＝√２ＣＱ＝√２(ｘ＋３)、

　ＲＳ＝√２ＲＤ＝√２(－ｘ＋２)

よって、四角形ＱＲＳＴの面積をS(ｘ)とおくと、

　S(ｘ)＝ＱＲ×ＲＳ

　　　　＝√２(ｘ＋３)・√２(－ｘ＋２)

　　　　＝２(－ｘ^２－ｘ＋６)

　　　　＝－２(ｘ^２＋ｘ－６)

S(ｘ)はｘの２次関数となるので、平方完成して最大値を求めます。

　S(ｘ)＝－２(ｘ^２＋ｘ－６)

　　　　＝－２(ｘ^２＋ｘ)＋１２

　　　＝－２｛(ｘ＋１／２)^２－１／４｝＋１２

　　　＝－２(ｘ＋１／２)^２＋２５／２

また、x＝０ のとき、S(０)＝１２

０≦ｘ＜２ より、Ｔ(ｘ)はｘ＝０のとき、最大値１２をとります。

よって、解答欄(オカ)には「１２」となる選択肢が入ります。

前までの問題と全く同じ解き方です。

AP=xとして辺の長さを求めると、

　PB =5-x

PB=PQより、

　BQ=5-x

BC=8より、

　QC=BC-BQ=8-(5-x)=3+x

QC=CRより、

　CR=3+x

CD=5より

　RD=5-(3+x)=2-x

となります。

また、四角形が存在するxの値の範囲を求めておきましょう。

RD>0となるのは

　2-x>0 つまり x<2です。

よって、0≦x<2の範囲にxがあれば四角形が存在します。

ここで四角形の面積をもとめます。三平方の定理(1:1:√2)より

　QR=√2QC, RS=√2RD

を用います。

四角形の面積をSとおくと、

　S=QR×RS=√2QC×√2RD=2QC×RD=2(3+x)(2-x)=-2(x+3)(x-2)=-2(x²+x-6)

これを平方完成すると、

　-2{ (x+1/2)²-(25/4) }=-2(x+1/2)²+(25/2)

となり、

　x=-(1/2)のとき、最大値25/2を取ります。

しかしx<0となるので、この値では点PはAB上に存在しません。

ここで、

　y=-2(x+1/2)²+(25/2)
のグラフ（下）で考えます。

0≦x<2の範囲でyの値が最大となるのは、グラフよりx=0のときです。

このときのyの値は、

　y=-2(1/2)²+(25/2)=12

よって、x=0のとき最大値12を取ります。