大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問19 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問2)

ＡＰ＝xとおいて、四角形ＱＲＳＴの面積をxで表します。

 まず、△ＢＰＱ、△ＣＱＲはともに直角二等辺三角形で、

　ＢＰ＝ＢＱ、ＣＱ＝ＣＲ

　かつ　ＰＱ＝√２ＢＱ、ＱＲ＝√２ＣＱ　・・(ａ)

ＡＰ＝ｘ　とおくと　前問(ア)の結果より　０≦ｘ＜４　で、

　ＢＰ＝ＢＱ＝５–ｘ

　ＣＱ＝ＣＢ–ＱＢ＝６–(５–ｘ)＝ｘ＋１

よって、ＣＱ＝ＣＲ＝x＋１

　ＤＲ＝ＤＣ–ＣＲ＝５–(ｘ＋１)＝–ｘ＋４

また(ａ)により、ＱＲ＝√２ＣＱ＝√２(ｘ＋１)、

　ＲＳ＝√２ＤＲ＝√２(–x＋４)

よって、四角形ＱＲＳＴの面積をＳ(ｘ)とおくと、

　Ｓ(ｘ)＝ＱＲ×ＲＳ

　　　　＝√２(ｘ＋１)・√２(–ｘ＋４)

　　　　＝２(–ｘ^２＋３ｘ＋４)

　　　　＝–２(ｘ^２–３ｘ–４)

Ｓ(ｘ)はｘの２次関数となるので、平方完成してグラフをかき、最大値を求めます。

　Ｓ(ｘ)＝–２(ｘ^２–３ｘ–４)

　　　　＝–２(ｘ^２–３ｘ)＋８

  　　　＝–２{(ｘ–３／２)^２–９／４}＋８

  　　　＝–２(ｘ–３／２)^２＋２５／２

０≦ｘ＜４　より、Ｓ(ｘ)はｘ＝３／２のとき、最大値２５／２をとります。

よって、解答欄(イウ)が「２５」、(エ)が「２」となる選択肢の番号が入ります。

AP=xとして辺の長さを求めると、

　PB =5-x

PB=PQより、

　BQ=5-x

BC=6より、

　QC=BC-BQ=6-(5-x)=1+x

QC=CRより、

　CR=1+x

CD=5より

　RD=5-(1+x)=4-x

となります。

ここで四角形の面積をもとめます。三平方の定理(1:1:√2)より

　QR=√2QC, RS=√2RD

を用います。

四角形の面積をSとおくと、

　S=QR×RS=√2QC×√2RD=2QC×RD=2(1+x)(4-x)=-2(x+1)(x-4)=-2(x²-3x-4)

これを平方完成すると、

　-2{ (x-3/2)²-(25/4) }=-2(x-3/2)²+(25/2)

となり、

　x=3/2のとき、最大値25/2を取ります。

0≦AP(=x)<4より、この値は有効です。