大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問18 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問1)

ＡＰの値（ＡＰの長さ）の範囲を求める問題なので、点Ｐが線分AB上でどのように動けるかを考えます。

最初、点Pが点Aと一致している時、すなわちAP=０のときは、４個の点P、Ｑ、Ｒ、Ｓとそれらを結んだ直線は図１の水色の線となります。

ここで、点Ｐを点Ｂの方向にＰ→Ｐ’と移動した時は赤色の線で示されたものとなり、ＡＰの長さが大きくなるにつれ、点Ｒ’は次第に点Ｄに近づいていくことがわかります。そして、点Ｒと点Ｄが一致したときは、図２のようになります。

△ＢＰＱ、△ＣＱＲはともに直角二等辺三角形で、ＢＰ＝ＢＱ、ＣＱ＝ＣＲ であることから ＡＰ＝４ が求まります。（図２ 参照）

点Ｐがこの位置より下に移動した時(すなわち AP>4のとき)直線ｌは辺ＣＤと交わらないので不適当。またＡＰ＝４ の時は点Ｒが点Ｄと一致することになり「直線ｌが頂点Ｃ、Ｄ以外の点で辺ＣＤと交わる」という条件に反するので、ＡＰ≠４ です。

これより、点Ｐが直線ＡＢ上で動く範囲は図２の青い線で示した部分になり、ＡＰの値の範囲は、０≦ＡＰ＜４ 。

よって、解答欄（ア）には、数値「４」の選択番号が入ります。

まず図を書いて点Pを動かして実験していきましょう。

下の2つの図を見ると、Pを下に動かしていくにつれて、RがDに近づいていっているのがわかります。

（ア）ではRに近づける最大のAPの長さを求めれば良いです。つまり、RとDが一致するときのAPの長さを求めます。

AP=xとすると、

　PB =5-x

PB=PQより、

　BQ=5-x

BC=6より、

　QC=BC-BQ=6-(5-x)=1+x

QC=CRより、

　CR=1+x

CD=5より

　RD=5-(1+x)=4-x

ここでRとDが一致するとき、RD=0より、

　4-x=0

つまり、

　x=4

となります。

よって、0≦AP<4が求める条件です。