大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問23 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問6)
問題文
以下（ シス ）・（ セソ ）・（ タチツ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
aを5＜a＜10を満たす実数とする。長方形ABCDを考え、AB＝CD＝5、BC＝DA＝aとする。
次のようにして、長方形ABCDの辺上に4点P、Q、R、Sをとり、内部に点Tをとることを考える。
辺AB上に点Bと異なる点Pをとる。辺BC上に点Qを∠BPQが45°になるようにとる。Qを通り、直線PQと垂直に交わる直線をlとする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるとき、lと辺CDの交点をRとする。
点Rを通りlと垂直に交わる直線をmとする。mと辺ADとの交点をSとする。点Sを通りmと垂直に交わる直線をnとする。nと直線PQとの交点をTとする。
（1）a＝6のとき、lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は0≦AP＜（ ア ）である。
このとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ イウ ）／（ エ ）である。
a＝8のとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ オカ ）である。
（2）5＜a＜10とする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は
0≦AP＜（ キク ）−a ・・・・・①
である。
点Pが①を満たす範囲を動くとする。四角形QRSTの面積の最大値が（ イウ ）／（ エ ）となるときのaの値の範囲は
5＜a≦（ ケコ ）／（ サ ）
である。
aが（ ケコ ）／（ サ ）＜a＜10を満たすとき、Pが①を満たす範囲を動いたときの四角形QRSTの面積の最大値は
（ シス ）a2＋（ セソ ）a−（ タチツ ）
である。
aを5＜a＜10を満たす実数とする。長方形ABCDを考え、AB＝CD＝5、BC＝DA＝aとする。
次のようにして、長方形ABCDの辺上に4点P、Q、R、Sをとり、内部に点Tをとることを考える。
辺AB上に点Bと異なる点Pをとる。辺BC上に点Qを∠BPQが45°になるようにとる。Qを通り、直線PQと垂直に交わる直線をlとする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるとき、lと辺CDの交点をRとする。
点Rを通りlと垂直に交わる直線をmとする。mと辺ADとの交点をSとする。点Sを通りmと垂直に交わる直線をnとする。nと直線PQとの交点をTとする。
（1）a＝6のとき、lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は0≦AP＜（ ア ）である。
このとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ イウ ）／（ エ ）である。
a＝8のとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ オカ ）である。
（2）5＜a＜10とする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は
0≦AP＜（ キク ）−a ・・・・・①
である。
点Pが①を満たす範囲を動くとする。四角形QRSTの面積の最大値が（ イウ ）／（ エ ）となるときのaの値の範囲は
5＜a≦（ ケコ ）／（ サ ）
である。
aが（ ケコ ）／（ サ ）＜a＜10を満たすとき、Pが①を満たす範囲を動いたときの四角形QRSTの面積の最大値は
（ シス ）a2＋（ セソ ）a−（ タチツ ）
である。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問23（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ シス ）・（ セソ ）・（ タチツ ）に当てはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
aを5＜a＜10を満たす実数とする。長方形ABCDを考え、AB＝CD＝5、BC＝DA＝aとする。
次のようにして、長方形ABCDの辺上に4点P、Q、R、Sをとり、内部に点Tをとることを考える。
辺AB上に点Bと異なる点Pをとる。辺BC上に点Qを∠BPQが45°になるようにとる。Qを通り、直線PQと垂直に交わる直線をlとする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるとき、lと辺CDの交点をRとする。
点Rを通りlと垂直に交わる直線をmとする。mと辺ADとの交点をSとする。点Sを通りmと垂直に交わる直線をnとする。nと直線PQとの交点をTとする。
（1）a＝6のとき、lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は0≦AP＜（ ア ）である。
このとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ イウ ）／（ エ ）である。
a＝8のとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ オカ ）である。
（2）5＜a＜10とする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は
0≦AP＜（ キク ）−a ・・・・・①
である。
点Pが①を満たす範囲を動くとする。四角形QRSTの面積の最大値が（ イウ ）／（ エ ）となるときのaの値の範囲は
5＜a≦（ ケコ ）／（ サ ）
である。
aが（ ケコ ）／（ サ ）＜a＜10を満たすとき、Pが①を満たす範囲を動いたときの四角形QRSTの面積の最大値は
（ シス ）a2＋（ セソ ）a−（ タチツ ）
である。
aを5＜a＜10を満たす実数とする。長方形ABCDを考え、AB＝CD＝5、BC＝DA＝aとする。
次のようにして、長方形ABCDの辺上に4点P、Q、R、Sをとり、内部に点Tをとることを考える。
辺AB上に点Bと異なる点Pをとる。辺BC上に点Qを∠BPQが45°になるようにとる。Qを通り、直線PQと垂直に交わる直線をlとする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるとき、lと辺CDの交点をRとする。
点Rを通りlと垂直に交わる直線をmとする。mと辺ADとの交点をSとする。点Sを通りmと垂直に交わる直線をnとする。nと直線PQとの交点をTとする。
（1）a＝6のとき、lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は0≦AP＜（ ア ）である。
このとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ イウ ）／（ エ ）である。
a＝8のとき、四角形QRSTの面積の最大値は（ オカ ）である。
（2）5＜a＜10とする。lが頂点C、D以外の点で辺CDと交わるときのAPの値の範囲は
0≦AP＜（ キク ）−a ・・・・・①
である。
点Pが①を満たす範囲を動くとする。四角形QRSTの面積の最大値が（ イウ ）／（ エ ）となるときのaの値の範囲は
5＜a≦（ ケコ ）／（ サ ）
である。
aが（ ケコ ）／（ サ ）＜a＜10を満たすとき、Pが①を満たす範囲を動いたときの四角形QRSTの面積の最大値は
（ シス ）a2＋（ セソ ）a−（ タチツ ）
である。
- シス：−1 セソ：20 タチツ：100
- シス：−2 セソ：30 タチツ：100
- シス：−3 セソ：20 タチツ：300
- シス：−4 セソ：30 タチツ：300
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （2件）
01
ａが １５／２＜ａ＜１０ を満たすとき －２０＜－２ａ＜－１５
各辺に１５をたして２で割ると
－５／２＜(１５－２ａ)／２＜０
これより、ｙ＝Ｓ(ｘ)を表す放物線について、（頂点のx座標）＜０ となり、グラフは図１のようになります。
よって、０≦ｘ＜１０－ａ において、Ｓ(ｘ) は ｘ＝０ のとき最大値Ｓ(０)をとります。
Ｓ(ｘ)＝－２(ｘ＋ａ－５)(ｘ＋ａ－１０) だったので、
Ｓ(０)＝－２(ａ－５)(ａ－１０)
＝－２(ａ２－１５ａ＋５０)
＝－２ａ２＋３０ａ－１００
これより、解答欄(シス)は「－２」、(セソ)は「３０」、(タチツ)は「１００」となる選択肢の番号が入ります。
この問題も、放物線の頂点と定義域(ｘの範囲)との位置関係に着目し、解くことができます。
２次関数ではよく出題されるパターンです。考え方や解き方をしっかり身につけてください。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
この問題の条件の時、前問より頂点のx座標は負になります。
このときSは最大値をx=0のときにとります。
よって、Sの式
S=QR×RS=√2QC×√2RD=2QC×RD=2(a-5+x)(10-a-x)
にx=0を代入して、
S=2(a-5)(10-a)=-2a2+30x-100
となります。
S=-2a2+30x-100より誤りです。
S=-2a2+30x-100より正解です。
S=-2a2+30x-100より誤りです。
S=-2a2+30x-100より誤りです。
グラフの頂点の位置を考えて、この問題のaの条件では頂点のx座標が負になることを理解しておく必要がありました。
この大問自体が同じようなことしかずっとやっていないので、この前までの問題を解けた人にとっては比較的容易だったのではないでしょうか。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問22）へ
令和4年度（2022年度）追・再試験 問題一覧
次の問題（問24）へ