大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問50 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問6)
問題文
以下（ キ ）に当てはまるものを選べ。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問50（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ キ ）に当てはまるものを選べ。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
- 1
- 2
- 3
- 4
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （2件）
01
まず、ｐ＝７７×３×ｘ＋５５×６×ｙ＋３５×６×ｚ です。
最初に、ｐａを５で割った余りが１となる最小の整数ａは、ａ＝４ であることを示します。
ｐは５で割って余りが２なので、
ｐ＝５Ｎ＋２ (Ｎは整数)と表すことができます。このとき、
ｐ２＝(５Ｎ＋２)(５Ｎ＋２)
＝２５Ｎ２＋１０Ｎ＋１０Ｎ＋２２
２５Ｎ２＋１０Ｎ＋１０Ｎ は５の倍数なので、ｐ２ を５で割った余りは ２２ に等しくなります。
また、このことより ｐ２ ＝５Ｍ＋２２ (Ｍは整数)と表すことができ、
ｐ３＝(５Ｍ＋２２)(５Ｎ＋２)
＝２５ＭＮ＋１０Ｍ＋２０Ｍ＋２３
ＭとＮの文字を含む項はすべて５の倍数なので、 ｐ３ を５で割った余りは ２３ を５で割った余りに等しくなります。
ｐ４ 、 ｐ５ ・・ も同様に考えることによって、以下のことがいえます。
ｐは５で割ると余りが２となる整数、ａを正の整数とするとき、 ｐａ を５で割った余りは ２ａ を５で割った余りに等しい。
よって、 ２ａ (ａ＝１、２、３、４・・)を５で割った余りを順に考えていくと、以下の(表１)のようになります。
(表１)より、２ａを５で割った余りが１となる最小の整数ａは ａ＝４ なので、ｐａを５で割った余りが１となる最小の整数ａも ａ＝４ です。また同時に、ｐａを５で割った余りは、２、４、３、１ を順に繰り返すことも分かると思います。
設問(キ)についても、同様に考えます。ｐは７で割った余りが４なので、ｐｂ を７で割った余りは４ｂ (ｂは正の整数)を７で割った余りと同じです。４ｂ をｂ＝１、２、３・・ と順に考えていくとｂ＝３のとき ４３＝６４ で、７で割ると余りが１になります。したがって、条件が成り立つ最小のｂは ｂ＝３ です。よって、解答欄(キ)には「３」の選択肢の番号が入ります。
最初に、ａ＝４ となることを説明しました。その解き方がわかれば、ｂ の値を求めることも、さほど難しいことではありません。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
modを使って考える問題です。
前問より、pを7で割った余りは4なので
p≡4(mod7)・・・(1)です。
問題はpb≡1(mod7)・・・(2)となる最小のbを求めることです。
(1)、(2)より次のような式が立てられます。
pb≡4b≡1(mod7)
bに正の整数を代入していくと、下の表のようになります。
64を7で割った余りは1なので、求める最小のbはb=3であることが分かります。（キ:3）
不正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
modを使って考えると、比較的簡単に解ける問題です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問49）へ
令和4年度（2022年度）追・再試験 問題一覧
次の問題（問51）へ