大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問50 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問6)
問題文
以下（ キ ）に当てはまるものを選べ。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問50（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ キ ）に当てはまるものを選べ。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
- 1
- 2
- 3
- 4
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
n を自然数とします。
p を 5 で割って 2 余る自然数として考えると、
p = 5n +2 となります。
pa =(5n +2)(5n +2)(5n +2)・・・ ですが、
式を展開すると 5 の倍数にならない項は 2a だけとなります。
問題文では a の最小値は 4 だと述べられており、24=16 で確かに 5 で割った余りが 1 になります。
同様にして考えましょう。
p を 7 で割って 4 余る自然数と考えると、
p=7n +4 となります。
pb =(7n +4)(7n +4)(7n +4)・・・ を考えると、
7 の倍数にならない項は 4b だけです。
4 の累乗を考えていくと、b =3 の時に初めて43=64 が 7 で割ると余りが1になると分かります。
よって、「pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のもの」は b = 3 です。
「3」の選択肢が設問（キ）の解答となります。
まず、p の式そのままでは 2 乗するのも大変な事に気付くかと思われます。
そこで p を「自然数の倍数＋余りの自然数」と考えると、
p の累乗を倍数で割った時に余りに変化をおよぼすのは、余りの自然数の累乗だけだと分かります。
p=7n +4 の場合は、41=4, 42=16, 43=64 でb =3 の時が「7で割って1余る時」の最小値だと分かります。
即答するのはやや難しい設問かと思われます。
問題文中の「paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である」という記述は大きなヒントですが、
まずこのヒントの文章の意味がそれほど簡単ではないかもしれません。
p の式をそのままでは使えない事を踏まえて、
「5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である」という問題文の記述に着目すると計算の仕方が見えてきます。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
まず、ｐ＝７７×３×ｘ＋５５×６×ｙ＋３５×６×ｚ です。
最初に、ｐａを５で割った余りが１となる最小の整数ａは、ａ＝４ であることを示します。
ｐは５で割って余りが２なので、
ｐ＝５Ｎ＋２ (Ｎは整数)と表すことができます。このとき、
ｐ２＝(５Ｎ＋２)(５Ｎ＋２)
＝２５Ｎ２＋１０Ｎ＋１０Ｎ＋２２
２５Ｎ２＋１０Ｎ＋１０Ｎ は５の倍数なので、ｐ２ を５で割った余りは ２２ に等しくなります。
また、このことより ｐ２ ＝５Ｍ＋２２ (Ｍは整数)と表すことができ、
ｐ３＝(５Ｍ＋２２)(５Ｎ＋２)
＝２５ＭＮ＋１０Ｍ＋２０Ｍ＋２３
ＭとＮの文字を含む項はすべて５の倍数なので、 ｐ３ を５で割った余りは ２３ を５で割った余りに等しくなります。
ｐ４ 、 ｐ５ ・・ も同様に考えることによって、以下のことがいえます。
ｐは５で割ると余りが２となる整数、ａを正の整数とするとき、 ｐａ を５で割った余りは ２ａ を５で割った余りに等しい。
よって、 ２ａ (ａ＝１、２、３、４・・)を５で割った余りを順に考えていくと、以下の(表１)のようになります。
(表１)より、２ａを５で割った余りが１となる最小の整数ａは ａ＝４ なので、ｐａを５で割った余りが１となる最小の整数ａも ａ＝４ です。また同時に、ｐａを５で割った余りは、２、４、３、１ を順に繰り返すことも分かると思います。
設問(キ)についても、同様に考えます。ｐは７で割った余りが４なので、ｐｂ を７で割った余りは４ｂ (ｂは正の整数)を７で割った余りと同じです。４ｂ をｂ＝１、２、３・・ と順に考えていくとｂ＝３のとき ４３＝６４ で、７で割ると余りが１になります。したがって、条件が成り立つ最小のｂは ｂ＝３ です。よって、解答欄(キ)には「３」の選択肢の番号が入ります。
最初に、ａ＝４ となることを説明しました。その解き方がわかれば、ｂ の値を求めることも、さほど難しいことではありません。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
modを使って考える問題です。
前問より、pを7で割った余りは4なので
p≡4(mod7)・・・(1)です。
問題はpb≡1(mod7)・・・(2)となる最小のbを求めることです。
(1)、(2)より次のような式が立てられます。
pb≡4b≡1(mod7)
bに正の整数を代入していくと、下の表のようになります。
64を7で割った余りは1なので、求める最小のbはb=3であることが分かります。（キ:3）
不正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
modを使って考えると、比較的簡単に解ける問題です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問49）へ
令和4年度（2022年度）追・再試験 問題一覧
次の問題（問51）へ