大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問49 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問5)

前問までより、(ア)、(イ)、(ウ)の値はそれぞれ ３、６、６ です。

０≦ｘ＜５、０≦ｙ＜７、０≦ｚ＜１１ を満たす３つの整数 ｘ、ｙ、ｚ についての式を

 Ａ＝７７×３×ｘ＋５５×６×ｙ＋３５×６×ｚ

とおくと、７７×３×ｘ＋３５×６×ｚ は７の倍数なので、

Ａを７で割った余りは、５５×６×ｙ を７で割った余りと同じです。

ここで、 

５５×６×ｙ＝３３０ｙ

＝３２９ｙ＋ｙ

＝４７×７×ｙ＋y

より、３２９ｙは７の倍数なので、５５×６×ｙ を７で割った余りはｙと同じ、すなわちＡを７で割った余りはｙになります。

一方、Ａを７で割った余りは４なので、ｙ＝４ となります。

次に、Ａ＝７７×３×ｘ＋５５×６×ｙ＋３５×６×ｚ について、７７×３×ｘ＋５５×６×ｙ は１１の倍数なので、Ａを１１で割った余りは３５×６×ｚ を１１で割った余りと同じです。

さらに、

３５×６×ｚ＝２１０ｚ

＝２０９ｚ＋ｚ

＝１９×１１ｚ＋ｚ

 で、２０９ｚ は１１の倍数なので、３５×６×ｚ を１１で割った余りはｚと同じ、すなわちＡを１１で割った余りはｚになります。一方、Ａを１１で割った余りは５なので、ｚ＝５ となります。

よって、解答欄(オ)には「４」、解答欄(カ)には「５」の選択肢の番号が入ります。

さらに、Ａ＝７７×３×ｘ＋５５×６×ｙ＋３５×６×ｚ で、ｘ、ｙ、ｚ にこれまで求めた値を代入した式を

　ｐ＝７７×３×２＋５５×６×４＋３５×６×５  

と定めます。

ここで、５、７、１１ で割った余りがそれぞれ２、４、５ となる整数をＭとするとき、ｐを５、７、１１ で割った余りはそれぞれ２、４、５ なので、ｐは整数Ｍの条件を満たしています。

さらに、整数Ｍの条件を満たす整数をｑとするとき、ｑも５、７、１１ で割った余りはそれぞれ２、４、５ となります。

ここで、ｐとｑの差をｄ、すなわち ｄ＝ｑ－ｐ とするとき、ｐとｑは共に５で割った余りが２なので、ｐ－ｑ は５の倍数、つまりｄは５の倍数です。同じく、ｐとｑは共に７で割った余りが４なので、ｄは７の倍数です。さらに、ｐとｑは共に１１で割った余りが５なので、ｄは１１の倍数です。

よって、ｄは５、７、１１の倍数となり、５、７、１１の最小公倍数である３８５の倍数になります。よって、ｄ＝３８５ｒ(ｒは整数)と表すことができます。よって、

ｑ－ｐ＝３８５ｒ

ｑ＝ｐ＋３８５ｒ (ｒは整数)です。

よって、５、７、１１ で割った余りがそれぞれ２、４、５ となる整数をＭは、整数ｒを用いて

 Ｍ＝ｐ＋３８５ｒ と表すことができます。

前問エと同様に考えます。

前問より、ア：3、イ：6、ウ：6です。

77✕（　ア　）✕x＋55✕（　イ　）✕y＋35✕（　ウ　）✕z

にそれぞれの値を代入すると次のようになります。

77✕3✕x＋55✕6✕y＋35✕6✕z・・・（＊）

問題文より、（＊）を7、11で割った余りはそれぞれ4、5です。

（＊）を7で割るとき、77✕3✕xと35✕6✕zの余りはいずれも0になります。

（＊）を11で割るとき、77✕3✕xと55✕6✕yの余りはいずれも0になります。

【オについて】

55✕6✕yを7で割った余りが（＊）を割った余りに対応します。

前問より、55✕6を7で割った余りは1なので、yを7で割った余りが、55✕6✕yを7で割った余り、ひいては（＊）を7で割った余りに対応します。

0≦y＜7の範囲で、7で割ると4余るのはy=4のときです。（オ：4）

【カについて】

35✕6✕zを11で割った余りが（＊）を割った余りに対応します。

前問より、35✕6を11で割った余りは1なので、zを11で割った余りが、55✕6✕yを11で割った余り、ひいては（＊）を11で割った余りに対応します。

0≦y＜11の範囲で、7で割ると5余るのはz=5のときです。（カ：5）

以上より、答えはオ：4、カ:5が正解です。