大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問52 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問8)

まず、p⁸ を5, 7, 11 で割った時の余りを設問（キ）（ク）と同様に考えてみます。

計算は少し工夫してみましょう。

n, m, N を自然数とします。
2⁸= 256 = 255 + 1 より、
p⁸=(5n+2)⁸ を 5 で割った時の余りは 1 です。

p³=(7n + 1) により、
p⁸=p³・p³・p²
=(7n + 1)(7n + 1)(7m + 4)²
16 = 7・2 +2 より、
p⁸=を 7 で割った時の余りは 2 です。

p⁵ = (11n +1) であり、
p⁸ = p⁵・p³ = (11m +1)(11n + 5)³ 
125 = 11・11+ 4 より、
p⁸  を 11 で割った時の余りは 4 です。

これらだけからは、まだ385 で割った余りは分かりません。
しかし385 = 5・7・11 なので強い関連が推測されます。

次に、
p に対して x, y, z がまだ不明の状態の式を P とします。

設問（ウ）～（オ）と同じ計算で考えて、
P =  77・3x + 55・6y + 35・6z 
=(75・3x + 55・6y + 35・6z) + 2・3x
=(75・3x + 55・6y + 35・6z) + 5x +x
x が 5 未満の自然数の時にこの式 P の余りは x となる事が分かります。
同じく、y が7 未満の自然数の時に P の余りは y であり、
z が 11 未満の自然数の時に P の余りは z です。

逆に、5, 7, 11 で割った時の余りがそれぞれ x, y, z である自然数 M に対しては何が言えるかを考えます。
（p⁸ は M の1つです。）

a,b,c,r, A,B,C を整数とします。
M = 5a + x = 7b + y = 11c + z とおけます。
P の 5, 7, 11 で割った時の余りがそれぞれ x, y, z である時には
M - P = 5A かつ M - P = 7B かつ M - P = 11C の形で表されます。

これらを同時に満たすには、385 = 5・7・11 に注意すると、
M-p =385r  ⇔ M = P +385r の形である必要があります。
（問題文中の「5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる」について、必ずしも余りが「2、4、5」でなくても P 側の特定の条件が満たされれば同様の式が成立するという事を意味します。）

そのため、385 で割った時の M と P の余りは一致する事になります。
p⁸は M の１つであるため、p⁸ と P の余りは一致します。
P＝77・3x + 55・6y + 35・6z に、
p⁸ を5 , 7 ,11 で割った余りである x = 1, y = 2, z = 4 を代入して直接計算すると、
P = 77・3・1 + 55・6・2 + 35・6・4
= 231 + 660 +840 
= 1731
= 385・4 + 191 となり、
385 で割った P の余りは 191 です。
p⁸ を385 で割った余りもこれに一致するので、余りは191 です。  

「191」の選択肢が設問（ケコサ）の解答となります。

設問（ク）

nを自然数として、
p=11n +5 を考えます。

さらに、
p^c =(11n +5)(11n +5)(11n +5)・・・ を考えると、
式を展開した時に11 の倍数にならない項は 5^c だけです。
5²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3125=11・284 + 1 となり、
「pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のもの」は c = 5 となります。

設問（キ）

n を自然数とします。
p を 5 で割って 2 余る自然数として考えると、
p = 5n +2 となります。
p^a =(5n +2)(5n +2)(5n +2)・・・ ですが、
式を展開すると 5 の倍数にならない項は 2^a だけとなります。
問題文では a の最小値は 4 だと述べられており、2⁴=16 で確かに 5 で割った余りが 1 になります。

 

同様にして考えましょう。
p を 7 で割って 4 余る自然数と考えると、
p=7n +4 となります。
p^b =(7n +4)(7n +4)(7n +4)・・・ を考えると、
7 の倍数にならない項は 4^b だけです。
4 の累乗を考えていくと、b =3 の時に初めて4³=64 が 7 で割ると余りが1になると分かります。

よって、「p^bを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のもの」は b = 3 です。

設問（エ）

問題文の式に設問（ア）～（ウ）の結果を当てはめると、
p = 77・3x + 55・6y + 35・6z 
=(75・3x + 55・6y + 35・6z) + 2・3x
=(75・3x + 55・6y + 35・6z) + 5x +x

 

括弧の中身 と 5x は 5 の倍数なので 5 で割った余りは 0 です。
そのため、x は 5で割った余りである「2」そのものであると判定できます。
よって x= 2 です。

設問（ウ）

35m = 11m・3 + 2m の式変形により、
m = 6 のときに 2・6 = 12 となり、11 で割った余りが 1 です。

 

よって m = 6 であり、
「6」の選択肢が設問（ウ）の解答です。

設問（イ）

（※アルファベットの「エル」を l 、数字の「いち」を1 と表記します。）
問題文と前問（ア）をヒントにします。
55l を直接的に変形すると、
55l = 7l・7 +6l 

よって l = 6 のときに 6l =36 となり、
7 で割った余りが 1 となります。

 

したがって l = 6 であり、
「6」の選択肢が設問（イ）の解答となります。

設問（ア）

問題文の言う通りに77k＝5✕15k＋2k に注意すると、
2k を 5 で割って得られる余りが 1 であればよい事になります。
すると、選択肢の1～4 の整数のうち、 
3 を試すと 2k = 6 となり、5 で割ると余りが 1 になります

これまでに述べた、整数を割ったときの余りについての性質を使っていきます。

まず、ｐ^８を５で割った余りを求めます。

問題文で述べられている通り、ｐ^４を５で割った余りは１です。よって、ｐ^４＝５Ａ＋１(Ａは整数) と表すことができ、

 ｐ^８＝ｐ^４・ｐ^４

  ＝(５Ａ＋１)(５Ａ＋１)

 この式を展開すると、Ａを含む項はすべて５の倍数であり、ｐ^８を５で割った余りは定数項１^２を５で割った余りと同じで１になります。

次に、ｐ^８を７で割った余りを求めます。

ｐは７で割った余りが４、また、前問(キ)よりｐ^３を７で割った余りは１です。さらに、ｐ^２を７で割った余りは４^２を７で割った余りと同じで２になります。よって、ｐ^３＝７Ｂ＋１、ｐ^２＝７Ｃ＋２(Ｂ、Ｃは整数)と表すことができ、

 ｐ^８＝ｐ^３・ｐ^３・ｐ^２

   ＝(７Ｂ＋１)(７Ｂ＋１)(７Ｃ＋２)

この式を展開すると、ＢとＣを含む項はすべて７の倍数となり、ｐ^８を７で割った余りは定数項１、１、２の積を７で割った余りと同じで２となります。

次に、ｐ^８を１１で割った余りを求めます。

ｐは１１で割った余りが５、また、前問(ク)よりｐ^５を１１で割った余りは１です。さらに、ｐ^３を１１で割った余りは５^３を１１で割った余りと同じで４になります。よって、ｐ^５＝１１Ｄ＋１、ｐ^３＝１１Ｅ＋４(Ｄ、Ｅは整数)と表すことができ、

 ｐ^８＝ｐ^５・ｐ^３

   ＝(１１Ｄ＋１)(１１Ｅ＋４)

この式を展開すると、ＤとＥを含む項はすべて１１の倍数となり、ｐ^８を１１で割った余りは定数項１、４の積を１１で割った余りと同じで４となります。

以上より、ｐ^８を５、７、１１で割った余りはそれぞれ１、２、４となります。

次に、ｐ＝７７×３×ｘ＋５５×６×ｙ＋３５×６×ｚ ・・ (※)

について、前問(３)より、ｐを５，７，１１で割った余りはｘ、ｙ、ｚだったので、上の(※)の式で、ｘ＝１、ｙ＝２、ｚ＝４ を代入した式

ｐ＝７７×３×１＋５５×６×２＋３５×６×４

を考えると、この式ｐは、「ｐ^８を５、７、１１で割った余りはそれぞれ１、２、４となる」という条件を満たすことになります。

このときｐを計算して求めると

ｐ＝２３１＋６６０＋８４０

 ＝１７３１

このとき、(３)で述べた通り、５、７、１１で割った余りがそれぞれ１、２、４となる整数Ｍは、

Ｍ＝１７３１＋３８５ｒ(ｒは整数)と表されます。

このＭを３８５で割った余りは、１７３１を３８５で割った余りと同じであり、

１７３１＝３８５×４＋１９１

より、余りは１９１です。したがって、ｐ^８を３８５で割った余りｑは，ｑ＝１９１ となります。

これより、解答欄(ケ)は「１」、(コ)は「９」、(サ)は「１」となる選択肢の番号が入ります。

前問より、p⁴≡1(mod5)、p³≡1(mod7)、p⁵≡1(mod11)を利用します。

p⁸≡(p⁴)²≡1(mod5)・・・(1)

p⁸≡p³×p²≡2(mod7)・・・(2)　（前問より、p²=16、16≡2(mod7)）

p⁸≡p⁵×p³≡4(mod11)・・・(3)　（前問より、p3=4(mod11)）

と表せます。

(3)と同様に考えて

p＝77✕3✕x＋55✕6✕y＋35✕6✕z

のx=1、y=2、z=4を代入すると

77✕3✕1＋55✕6✕2＋35✕6✕4=1731

となるため、p⁸はある整数rを使って

p⁸=1731+385r

と表されます。

p⁸を385で割った余りについて考えます。

385rの部分は、385で割ると余りは0なので

p⁸を385で割った余りは1731を385で割った余りに対応します。

1731÷385=4余り191なので

p⁸を385で割った余りは191となります。

（ケコサ：191）