大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問52 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問8)
問題文
以下（ ケコサ ）に当てはまるものを選べ。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問52（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ケコサ ）に当てはまるものを選べ。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
（1）整数kが0≦k＜5を満たすとする。77k＝5✕15k＋2kに注意すると、77kを5で割った余りが1となるのはk＝（ ア ）のときである。
（2）三つの整数k、l、mが
0≦k＜5、0≦l＜7、0≦m＜11
を満たすとする。このとき
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）−（1／385） ・・・・・・①
が整数となるk、l、mを求めよう。
①の値が整数のとき、その値をnとすると
（k／5）＋（l／7）＋（m／11）＝（1／385）＋n ・・・・・・②
となる。②の両辺に385を掛けると
77k＋55l＋35m＝1＋385n ・・・・・・③
となる。これより
77k＝5（−11l−7m＋77n）＋1
となることから、77kを5で割った余りは1なのでk＝（ ア ）である。
同様にして
55l＝7（−11k−5m＋55n）＋1
および
35m＝11（−7k−5l＋35n）＋1
であることに注意すると、l＝（ イ ）およびm＝（ ウ ）が得られる。
なお、k＝（ ア ）、l＝（ イ ）、m＝（ ウ ）を③に代入するとn＝2であることがわかる。
（3）三つの整数x、y、zが
0≦x＜5、0≦y＜7、0≦z＜11
を満たすとする。次の形の整数
77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
を5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5であるとする。このとき、x、y、zを求めよう。77✕（ ア ）✕xを5で割った余りが2であることからx＝（ エ ）となる。同様にしてy＝（ オ ）、z＝（ カ ）となる。
x、y、zを上で求めた値として、整数pを
p＝77✕（ ア ）✕x＋55✕（ イ ）✕y＋35✕（ ウ ）✕z
で定める。このとき、5、7、11で割った余りがそれぞれ2、4、5である整数Mは、ある整数rを用いてM＝p＋385rと表すことができる。
（4）整数pを（3）で定めたものとする。paを5で割った余りが1となる正の整数aのうち、最小のものはa＝4である。また、pbを7で割った余りが1となる正の整数bのうち、最小のものはb＝（ キ ）となる。さらに、pcを11で割った余りが1となる正の整数cのうち、最小のものはc＝（ ク ）である。
p8を385で割った余りをqとするとき、qを求めよう。p8を5、7、11で割った余りを利用して（3）と同様に考えると、q＝（ ケコサ ）であることがわかる。
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この過去問の解説 （2件）
01
これまでに述べた、整数を割ったときの余りについての性質を使っていきます。
まず、ｐ８を５で割った余りを求めます。
問題文で述べられている通り、ｐ４を５で割った余りは１です。よって、ｐ４＝５Ａ＋１(Ａは整数) と表すことができ、
ｐ８＝ｐ４・ｐ４
＝(５Ａ＋１)(５Ａ＋１)
この式を展開すると、Ａを含む項はすべて５の倍数であり、ｐ８を５で割った余りは定数項１２を５で割った余りと同じで１になります。
次に、ｐ８を７で割った余りを求めます。
ｐは７で割った余りが４、また、前問(キ)よりｐ３を７で割った余りは１です。さらに、ｐ２を７で割った余りは４２を７で割った余りと同じで２になります。よって、ｐ３＝７Ｂ＋１、ｐ２＝７Ｃ＋２(Ｂ、Ｃは整数)と表すことができ、
ｐ８＝ｐ３・ｐ３・ｐ２
＝(７Ｂ＋１)(７Ｂ＋１)(７Ｃ＋２)
この式を展開すると、ＢとＣを含む項はすべて７の倍数となり、ｐ８を７で割った余りは定数項１、１、２の積を７で割った余りと同じで２となります。
次に、ｐ８を１１で割った余りを求めます。
ｐは１１で割った余りが５、また、前問(ク)よりｐ５を１１で割った余りは１です。さらに、ｐ３を１１で割った余りは５３を１１で割った余りと同じで４になります。よって、ｐ５＝１１Ｄ＋１、ｐ３＝１１Ｅ＋４(Ｄ、Ｅは整数)と表すことができ、
ｐ８＝ｐ５・ｐ３
＝(１１Ｄ＋１)(１１Ｅ＋４)
この式を展開すると、ＤとＥを含む項はすべて１１の倍数となり、ｐ８を１１で割った余りは定数項１、４の積を１１で割った余りと同じで４となります。
以上より、ｐ８を５、７、１１で割った余りはそれぞれ１、２、４となります。
次に、ｐ＝７７×３×ｘ＋５５×６×ｙ＋３５×６×ｚ ・・ (※)
について、前問(３)より、ｐを５，７，１１で割った余りはｘ、ｙ、ｚだったので、上の(※)の式で、ｘ＝１、ｙ＝２、ｚ＝４ を代入した式
ｐ＝７７×３×１＋５５×６×２＋３５×６×４
を考えると、この式ｐは、「ｐ８を５、７、１１で割った余りはそれぞれ１、２、４となる」という条件を満たすことになります。
このときｐを計算して求めると
ｐ＝２３１＋６６０＋８４０
＝１７３１
このとき、(３)で述べた通り、５、７、１１で割った余りがそれぞれ１、２、４となる整数Ｍは、
Ｍ＝１７３１＋３８５ｒ(ｒは整数)と表されます。
このＭを３８５で割った余りは、１７３１を３８５で割った余りと同じであり、
１７３１＝３８５×４＋１９１
より、余りは１９１です。したがって、ｐ８を３８５で割った余りｑは，ｑ＝１９１ となります。
これより、解答欄(ケ)は「１」、(コ)は「９」、(サ)は「１」となる選択肢の番号が入ります。
問題文の中に、「ｐ８を５、７、１１で割った余りを利用して(３)と同様に考えて・・」と書いてあるので、この設問の意図に沿って考えていかなければなりません。
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02
前問より、p4≡1(mod5)、p3≡1(mod7)、p5≡1(mod11)を利用します。
p8≡(p4)2≡1(mod5)・・・(1)
p8≡p3×p2≡2(mod7)・・・(2) （前問より、p2=16、16≡2(mod7)）
p8≡p5×p3≡4(mod11)・・・(3) （前問より、p3=4(mod11)）
と表せます。
(3)と同様に考えて
p＝77✕3✕x＋55✕6✕y＋35✕6✕z
のx=1、y=2、z=4を代入すると
77✕3✕1＋55✕6✕2＋35✕6✕4=1731
となるため、p8はある整数rを使って
p8=1731+385r
と表されます。
p8を385で割った余りについて考えます。
385rの部分は、385で割ると余りは0なので
p8を385で割った余りは1731を385で割った余りに対応します。
1731÷385=4余り191なので
p8を385で割った余りは191となります。
（ケコサ：191）
不正解です。
不正解です。
正解です。
不正解です。
(3)までの誘導や考え方を応用できるかが問われています。
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