大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問53 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問1)
問題文
以下（ ア ）・（ イ ）に当てはまるものを2つ選べ。
（1）円と直線に関する次の定理を考える。
定理
3点P、Q、Rは一直線上にこの順に並んでいるとし、点Tはこの直線上にないものとする。このとき、PQ・PR＝PT2が成り立つならば、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接する。
この定理が成り立つことは、次のように説明できる。
直線PTは3点Q、R、Tを通る円Oに接しないとする。このとき、直線PTは円Oと異なる2点で交わる。直線PTと円Oとの交点で点Tとは異なる点をT′とすると
PT・PT′＝（ ア ）・（ イ ）
が成り立つ。点Tと点T′が異なることにより、PT・PT′の値とPT2の値は異なる。したがって、PQ・PR＝PT2に矛盾するので、背理法により、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接するといえる。
（1）円と直線に関する次の定理を考える。
定理
3点P、Q、Rは一直線上にこの順に並んでいるとし、点Tはこの直線上にないものとする。このとき、PQ・PR＝PT2が成り立つならば、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接する。
この定理が成り立つことは、次のように説明できる。
直線PTは3点Q、R、Tを通る円Oに接しないとする。このとき、直線PTは円Oと異なる2点で交わる。直線PTと円Oとの交点で点Tとは異なる点をT′とすると
PT・PT′＝（ ア ）・（ イ ）
が成り立つ。点Tと点T′が異なることにより、PT・PT′の値とPT2の値は異なる。したがって、PQ・PR＝PT2に矛盾するので、背理法により、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接するといえる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問53（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問1） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ア ）・（ イ ）に当てはまるものを2つ選べ。
（1）円と直線に関する次の定理を考える。
定理
3点P、Q、Rは一直線上にこの順に並んでいるとし、点Tはこの直線上にないものとする。このとき、PQ・PR＝PT2が成り立つならば、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接する。
この定理が成り立つことは、次のように説明できる。
直線PTは3点Q、R、Tを通る円Oに接しないとする。このとき、直線PTは円Oと異なる2点で交わる。直線PTと円Oとの交点で点Tとは異なる点をT′とすると
PT・PT′＝（ ア ）・（ イ ）
が成り立つ。点Tと点T′が異なることにより、PT・PT′の値とPT2の値は異なる。したがって、PQ・PR＝PT2に矛盾するので、背理法により、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接するといえる。
（1）円と直線に関する次の定理を考える。
定理
3点P、Q、Rは一直線上にこの順に並んでいるとし、点Tはこの直線上にないものとする。このとき、PQ・PR＝PT2が成り立つならば、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接する。
この定理が成り立つことは、次のように説明できる。
直線PTは3点Q、R、Tを通る円Oに接しないとする。このとき、直線PTは円Oと異なる2点で交わる。直線PTと円Oとの交点で点Tとは異なる点をT′とすると
PT・PT′＝（ ア ）・（ イ ）
が成り立つ。点Tと点T′が異なることにより、PT・PT′の値とPT2の値は異なる。したがって、PQ・PR＝PT2に矛盾するので、背理法により、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接するといえる。
- PQ
- PR
- QR
- QT
- RT
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この過去問の解説 （2件）
01
直線ＰＴが、３点Ｑ、Ｒ、Ｔを通る円Ｏに接しないとすると、直線ＰＴは、円Ｏと異る２点で交わります。
直線ＰＴが円Ｏと交わる、Ｔ以外の点をＴ’とすると、方べきの定理より
ＰＱ・ＰＲ＝ＰＴ・ＰＴ’
点Ｔと点Ｔ’が異るならば、ＰＴの長さとＰＴ’の長さは異なり、ＰＴ２ とＰＴ・ＰＴ’の値が異なることになって、ＰＱ・ＰＲ＝ＰＴ２ と矛盾が生じます。
よって、背理法によってＴとＴ’は一致する、すなわち、直線ＰＴは３点Ｑ、Ｒ、Ｔを通る円Ｏに接する。
以上より、解答欄(ア)と(イ)には、「ＰＱ」と「ＰＲ」となる２つの選択肢の番号(順不同)が入ります。
数Ａの図形の問題で、「１つの円に２本の直線が交わる」という条件があったら、まず「方べきの定理」が使えないかどうか、ということを考えてみてください。
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02
大問の最初の問題ですが、問題を通して非常に重要な導入（誘導）です。
問題文を読み込み、図形に落とし込むことが大切です。
問題文が示す図形は以下のようになります。
方べきの定理より
PT・PT'＝PQ・PR
です。（ア、イ：PQ、PR,順不同）
正解です。
正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
問題文をよく読み、図形が正確な図形がかければ、あとは方べきの定理を利用するだけです。
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