大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問53 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問1)
問題文
以下（ ア ）・（ イ ）に当てはまるものを2つ選べ。
（1）円と直線に関する次の定理を考える。
定理
3点P、Q、Rは一直線上にこの順に並んでいるとし、点Tはこの直線上にないものとする。このとき、PQ・PR＝PT2が成り立つならば、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接する。
この定理が成り立つことは、次のように説明できる。
直線PTは3点Q、R、Tを通る円Oに接しないとする。このとき、直線PTは円Oと異なる2点で交わる。直線PTと円Oとの交点で点Tとは異なる点をT′とすると
PT・PT′＝（ ア ）・（ イ ）
が成り立つ。点Tと点T′が異なることにより、PT・PT′の値とPT2の値は異なる。したがって、PQ・PR＝PT2に矛盾するので、背理法により、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接するといえる。
（1）円と直線に関する次の定理を考える。
定理
3点P、Q、Rは一直線上にこの順に並んでいるとし、点Tはこの直線上にないものとする。このとき、PQ・PR＝PT2が成り立つならば、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接する。
この定理が成り立つことは、次のように説明できる。
直線PTは3点Q、R、Tを通る円Oに接しないとする。このとき、直線PTは円Oと異なる2点で交わる。直線PTと円Oとの交点で点Tとは異なる点をT′とすると
PT・PT′＝（ ア ）・（ イ ）
が成り立つ。点Tと点T′が異なることにより、PT・PT′の値とPT2の値は異なる。したがって、PQ・PR＝PT2に矛盾するので、背理法により、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接するといえる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問53（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問1） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ ア ）・（ イ ）に当てはまるものを2つ選べ。
（1）円と直線に関する次の定理を考える。
定理
3点P、Q、Rは一直線上にこの順に並んでいるとし、点Tはこの直線上にないものとする。このとき、PQ・PR＝PT2が成り立つならば、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接する。
この定理が成り立つことは、次のように説明できる。
直線PTは3点Q、R、Tを通る円Oに接しないとする。このとき、直線PTは円Oと異なる2点で交わる。直線PTと円Oとの交点で点Tとは異なる点をT′とすると
PT・PT′＝（ ア ）・（ イ ）
が成り立つ。点Tと点T′が異なることにより、PT・PT′の値とPT2の値は異なる。したがって、PQ・PR＝PT2に矛盾するので、背理法により、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接するといえる。
（1）円と直線に関する次の定理を考える。
定理
3点P、Q、Rは一直線上にこの順に並んでいるとし、点Tはこの直線上にないものとする。このとき、PQ・PR＝PT2が成り立つならば、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接する。
この定理が成り立つことは、次のように説明できる。
直線PTは3点Q、R、Tを通る円Oに接しないとする。このとき、直線PTは円Oと異なる2点で交わる。直線PTと円Oとの交点で点Tとは異なる点をT′とすると
PT・PT′＝（ ア ）・（ イ ）
が成り立つ。点Tと点T′が異なることにより、PT・PT′の値とPT2の値は異なる。したがって、PQ・PR＝PT2に矛盾するので、背理法により、直線PTは3点Q、R、Tを通る円に接するといえる。
- PQ
- PR
- QR
- QT
- RT
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この過去問の解説 （3件）
01
（※問題文と同様に線分PQの長さを PQ と記載します。）
背理法による仮定の図で、円に内接する四角形の対角の和が 180° である事から、
∠PT'R = 180° - ∠TQR
他方で ∠PQT = 180° - ∠TQR です。
よって、∠PT'R =∠PQT であり、三角形PQT と三角形PT'R は相似です。
したがって、
PQ/PT' =PT/PR ⇔ PT・PT' ＝ PQ・PR
「PQ」と「PR」の２つの選択肢が設問（ア）（イ）の解答となります。
方べきの定理の1つの場合で PQ・PR = PT2 （本設問で、背理法により証明された内容）の式で使う辺の長さの1つです。
PR と一緒に使います。
本設問では、方べきの定理の別の場合の形を覚えていればそれを使ってしまってもよいでしょう。
背理法の仮定における図では、点Pが円の外側にある場合で円周上に4点がある場合の方べきの定理を適用できます。
すると、その場合の方べきの定理により直ちに PT・PT' = PQ・PR となります。
方べきの定理の1つの場合で PQ・PR = PT2 （本設問で、背理法により証明された内容）の式で使う辺の長さの1つです。
PQ と一緒に使います。
方べきの定理の、３つの場合のうちの１つの証明問題です。
円周上に4つの点がある場合で点Pが円の内側にある場合も外側にある場合も、
図でAP・BP = CP・DP が成立します。（三角形の相似関係から証明できます。）
点Pが円の外側にある場合は、本設問で背理法による仮定の場合に相当します。
円周上に3つの点がある場合でそのうちの１つと点Pが円の接線となる時は
「円周上に4つの点がある場合で点Pが円の外側にある場合」の特別な場合であり、
図で AP・BP = PT2 が成立します。本設問で背理法による証明後の式の場合に相当します。
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02
直線ＰＴが、３点Ｑ、Ｒ、Ｔを通る円Ｏに接しないとすると、直線ＰＴは、円Ｏと異る２点で交わります。
直線ＰＴが円Ｏと交わる、Ｔ以外の点をＴ’とすると、方べきの定理より
ＰＱ・ＰＲ＝ＰＴ・ＰＴ’
点Ｔと点Ｔ’が異るならば、ＰＴの長さとＰＴ’の長さは異なり、ＰＴ２ とＰＴ・ＰＴ’の値が異なることになって、ＰＱ・ＰＲ＝ＰＴ２ と矛盾が生じます。
よって、背理法によってＴとＴ’は一致する、すなわち、直線ＰＴは３点Ｑ、Ｒ、Ｔを通る円Ｏに接する。
以上より、解答欄(ア)と(イ)には、「ＰＱ」と「ＰＲ」となる２つの選択肢の番号(順不同)が入ります。
数Ａの図形の問題で、「１つの円に２本の直線が交わる」という条件があったら、まず「方べきの定理」が使えないかどうか、ということを考えてみてください。
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03
大問の最初の問題ですが、問題を通して非常に重要な導入（誘導）です。
問題文を読み込み、図形に落とし込むことが大切です。
問題文が示す図形は以下のようになります。
方べきの定理より
PT・PT'＝PQ・PR
です。（ア、イ：PQ、PR,順不同）
正解です。
正解です。
不正解です。
不正解です。
不正解です。
問題文をよく読み、図形が正確な図形がかければ、あとは方べきの定理を利用するだけです。
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