大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問65 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問4)
問題文
以下（ キク ）・（ ケ ）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
（1）直線l1とx軸は、点（［ アイ ］，0）で交わる。
また、直線l2はkの値に関係なく点（［ ウ ］，［ エオ ］）を通り、直線l1もこの点を通る。
（2）2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができないようなkの値は
k＝（ カ ）、（ キク ）／（ ケ ）
である。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
（1）直線l1とx軸は、点（［ アイ ］，0）で交わる。
また、直線l2はkの値に関係なく点（［ ウ ］，［ エオ ］）を通り、直線l1もこの点を通る。
（2）2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができないようなkの値は
k＝（ カ ）、（ キク ）／（ ケ ）
である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問65（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ キク ）・（ ケ ）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
（1）直線l1とx軸は、点（［ アイ ］，0）で交わる。
また、直線l2はkの値に関係なく点（［ ウ ］，［ エオ ］）を通り、直線l1もこの点を通る。
（2）2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができないようなkの値は
k＝（ カ ）、（ キク ）／（ ケ ）
である。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
（1）直線l1とx軸は、点（［ アイ ］，0）で交わる。
また、直線l2はkの値に関係なく点（［ ウ ］，［ エオ ］）を通り、直線l1もこの点を通る。
（2）2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができないようなkの値は
k＝（ カ ）、（ キク ）／（ ケ ）
である。
- キク：−4 ケ：5
- キク：−3 ケ：2
- キク：−2 ケ：5
- キク：−1 ケ：2
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この過去問の解説 （3件）
01
３つの直線が三角形を作らないのは、
ア)３つの直線が１点で交わる
イ)３つの直線のうち、どれか２つの直線が並行になる
のいずれかです。
この中で ア)についてですが、前問で述べられていたように、２つの直線l１とl２はともに点(５,１２)を通りますが、ｘ軸は点(５,１２)を通ることはありません。よって、３つの直線が１点で交わることはありません。
よって、イ)の場合になりますが、直線l１とｘ軸が平行になることはないので、直線l２とl１が並行、または直線l２がｘ軸と並行になる場合に限られます。
直線l１の傾きは－(３／２)、ｘ軸の傾きは０、l２の傾きはｋなので、ｋ＝０、またはｋ＝－(３／２)
よって、解答欄(キ)(ク)は「－３」、(ケ)は「２」、となる選択肢の番号が入ります。
なお このとき、直線l１とl２はともに点(５,１２)を通りかつ傾きも同じなので、２つの直線l１とl２は一致します。
解説の所で述べた通り、３つの直線が三角形を作らないのは２通りありますので、覚えておいてください。
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02
いずれか2直線が並行で交わらない時、
三角形はできません。
従って、
l1 // l2の場合とl2 // x軸の場合を考えれば良いでしょう。
l2がx軸と平行になるのは、
k=0で傾きが0の時です。
また、l2がl1と平行になるのは、
l1:y=-3/2x+39/2と傾きが-3/2なので、
k=-3/2の時です。
参考になった数0
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03
直線l1、直線l2ともに(5,12)の点を通ることに注意します。
直線l1、l2およびx軸の3直線によって三角形ができないのは以下の2通りの場合です。
・l2がx軸に平行なとき
・2直線が平行のとき（この問題では、同じ点を通るため重なります）
【2直線が平行のとき】
2直線が平行のとき、2直線の傾きは等しいです。
直線l1を変形すると次のようになります。
y=-3x/2+39/2
傾きは-3/2です。
直線l2を変形すると次のようになります。
y=kx-5k+12
傾きが同じであるためのkの条件はk=-3/2です。
（キク/ケ＝-3/2）
不正解です。
正解です。
不正解です。
不正解です。
座標平面に直線をかき込みながら考えると良いです。
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