大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問68 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7)
問題文
以下（ セ ）・（ ソ ）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができるとき、この三角形の周および内部からなる領域をDとする。さらに、rを正の実数とし、不等式x2＋y2≦r2の表す領域をEとする。
直線l2が点（−13，0）を通る場合を考える。このとき、k＝（ コ ）／（ サ ）である。さらに、DがEに含まれるようなrの値の範囲は
r≧（ シス ）
である。
次に、r＝（ シス ）の場合を考える。このとき、DがEに含まれるようなkの値の範囲は
k≧（ セ ）／（ ソ ）またはk＜（ タチ ）／（ ツ ）
である。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができるとき、この三角形の周および内部からなる領域をDとする。さらに、rを正の実数とし、不等式x2＋y2≦r2の表す領域をEとする。
直線l2が点（−13，0）を通る場合を考える。このとき、k＝（ コ ）／（ サ ）である。さらに、DがEに含まれるようなrの値の範囲は
r≧（ シス ）
である。
次に、r＝（ シス ）の場合を考える。このとき、DがEに含まれるようなkの値の範囲は
k≧（ セ ）／（ ソ ）またはk＜（ タチ ）／（ ツ ）
である。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和4年度（2022年度）追・再試験 問68（数学Ⅱ・数学B（第1問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ セ ）・（ ソ ）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができるとき、この三角形の周および内部からなる領域をDとする。さらに、rを正の実数とし、不等式x2＋y2≦r2の表す領域をEとする。
直線l2が点（−13，0）を通る場合を考える。このとき、k＝（ コ ）／（ サ ）である。さらに、DがEに含まれるようなrの値の範囲は
r≧（ シス ）
である。
次に、r＝（ シス ）の場合を考える。このとき、DがEに含まれるようなkの値の範囲は
k≧（ セ ）／（ ソ ）またはk＜（ タチ ）／（ ツ ）
である。
座標平面上で、直線3x＋2y−39＝0をl1とする。また、kを実数とし、直線kx−y−5k＋12＝0をl2とする。
2直線l1、l2およびx軸によって囲まれた三角形ができるとき、この三角形の周および内部からなる領域をDとする。さらに、rを正の実数とし、不等式x2＋y2≦r2の表す領域をEとする。
直線l2が点（−13，0）を通る場合を考える。このとき、k＝（ コ ）／（ サ ）である。さらに、DがEに含まれるようなrの値の範囲は
r≧（ シス ）
である。
次に、r＝（ シス ）の場合を考える。このとき、DがEに含まれるようなkの値の範囲は
k≧（ セ ）／（ ソ ）またはk＜（ タチ ）／（ ツ ）
である。
- セ：1 ソ：2
- セ：2 ソ：3
- セ：3 ソ：5
- セ：5 ソ：7
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この過去問の解説 （2件）
01
l2のx切片が重要です。
そこに注目して解きましょう。
l1,l2,x軸で三角形が作れるようなkのもとで考えます。
具体的には、k≠0,-3/2の時です。
ここで、l1とl2の交点(5,12)は必ず
円：x2＋y2 =132上にあることに注目します。
DがEをはみ出すのは、
l2のx切片がEをはみ出す時です。
l2のx切片はk≠0のもとで、
5-12/kと表せます。
これが-13より小さい場合と13より大きい場合を考えれば良いわけです。
5-12/k<-13
18<12/k
この場合は、傾きk>0ですので、
k<2/3です。
13<5-12/k
8<-12/k
この場合、傾きk<0ですので、
k>-3/2です。
これがDがEからはみ出す場合ですので、
この逆を考え、答える範囲は
k≧2/3、k＜-3/2となります。
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02
この問題は直線l2が(5,12）の点を軸に回転するイメージをもつことです。
下の図を見てください。（r=13）
上図は直線l2が(-13,0)を通っています。
直線l2の式kx-y-k+12に(x,y)=(-13,0)を代入すると
このとき、k=2/3であることが分かります。
直線l2は点(5,12)を軸として、kの値によって直線の傾きが変わります。
k=2/3のとき、半径13の円とちょうど(-13,0)で交わります。
もしkの値がk≦2/3となると、直線の傾きは上図よりも浅くなり、直線l2は円外でx軸との交点をもつことになります。
これでは領域Dが領域Eに含まれているとは言えません。
直線l2が円内でx軸と交点をもつためにはk≧2/3でなくてはなりません。
したがって、k≧2/3（セ：2、ソ：3）となります。
不正解です。
正解です。
不正解です。
不正解です。
実際に座標平面に図形をかくことでイメージしやすくなります。
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