共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問69 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問8)

前問までで、次のことが分かっています。

直線l₁はx軸と（13，0）で交わります。
また、直線l₂はkの値に関係なく（5，12）を通り、この点は直線l₁上にもあります。

つまり、三角形Dの頂点のうち、必ず出てくる2点は

（13，0）と（5，12）です。

直線l₁は 3x＋2y−39＝0 です。

x軸との交点では、y座標が0になります。
そこで y＝0 を代入すると、

3x＋2×0−39＝0
3x−39＝0
3x＝39
x＝13

となります。

 

したがって、直線l₁とx軸は、点（13，0）で交わります。

直線l₂が k の値に関係なく通る点を求めます。

直線l₂は kx−y−5k＋12＝0 です。
k がつく部分をまとめると、

k(x−5)−y＋12＝0

となります。

 

この式が k の値に関係なく成り立つには、

x−5＝0
−y＋12＝0

となればよいです。

 

したがって、

x＝5
y＝12

なので、直線l₂は k の値に関係なく点（5，12）を通ります。
 

また、直線l₁にも代入すると、

3×5＋2×12−39＝15＋24−39＝0

となるので、直線l₁もこの点を通ります。

さらに、前の条件で直線l₂が（−13，0）を通るとき、三角形の3つの頂点は

（13，0）、（−13，0）、（5，12）

となり、どの点も原点からの距離が13以下です。
そのため、Dが円Eに含まれる最小の半径はr＝13です。

今回は、r＝13のまま、Dが円Eに含まれるためのkの範囲を考えます。

l₂のx切片が問題の肝です。

ギリギリ成り立つ場合を考えてみましょう。

前問同様に考えます。

下の図を見てください。（r=13）

上図は直線l₂が(13,0)を通っています。

直線l₂の式kx-y-5k+12=0に(x,y)=(13,0)を代入すると

このとき、k=-3/2であることが分かります。

直線l₂は点(5,12)を軸として、kの値によって直線の傾きが変わります。

k=-3/2のとき、半径13の円とちょうど(13,0)で交わります。

もしkの値がk≧-3/2となると、直線の傾きは上図よりも浅くなり、直線l₂は円外でx軸との交点をもつことになります。

これでは領域Dが領域Eに含まれているとは言えません。

直線l₂が円内でx軸と交点をもつためにはk≦-3/2でなくてはなりません。

ここで、一点注意してください。上図には直線は1本しかかかれていませんが、直線l₁と直線l₂が重なっています。

k=-3/2のとき、直線l₁と直線l₂がピッタリと重なり、三角形はできません。

正しいkの条件はk<-3/2です。

したがって、k<-3/2（タチ：-3、ツ：2）となります。