共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問77 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問16)

前問までで、

q＝sin（θ＋π／7）／cosθ は、加法定理を使うと

q＝cos（π／7）tanθ＋sin（π／7）

と表せることが分かりました。
また、θが −π／2＜θ＜π／2 を動くとき、tanθは実数全体をとります。
cos（π／7）は0ではないので、qの範囲は実数全体でした。

sin2θは　sin2θ＝2sinθcosθ　と表せるので、

p＝sin2θ／cosθ＝2sinθ

となります。

 

θが −π／2＜θ＜π／2 の範囲を動くとき、sinθは −1より大きく、1より小さい値をとります。
そのため、2sinθは

−2＜p＜2

となります。

q＝sin（θ＋π／7）／cosθ の範囲を考えます。

まず、加法定理を使います。

sin（θ＋π／7）＝sinθcos（π／7）＋cosθsin（π／7）

これを cosθ で割ると、

q＝sinθcos（π／7）／cosθ＋cosθsin（π／7）／cosθ

となります。

つまり、

q＝cos（π／7）tanθ＋sin（π／7）

です。

 

θが −π／2＜θ＜π／2 の範囲を動くとき、tanθはどんな実数の値もとれます。
そこに、正の数である cos（π／7）をかけて、さらに sin（π／7）を足しても、とり得る範囲は実数全体のままです。

したがって、qのとり得る値の範囲は実数全体です。

今回は

r＝sin（θ＋a）／cosθ

について、qと範囲が違うaがいくつあるかを考えます。

難問です。

sin(θ+a)=±cosθとなる場合、

rは約分でき、r＝±１と決まった値を取るようになります。

問題はそれ以外にqと異なるような範囲を取りうるような

aが存在するかどうかですが、

ここについては時間がなければそこまで検証できなくても

仕方ないと思います。

加法定理を用いて、前問同様にrの式を変形すると次のようになります。

r=(sinθcosa+cosθsina/cosθ)/cosθ=tanθcosa+sina

前問では、−π／2＜θ＜π／2においてtanθがすべての実数をとり得るため

q=tanθcos（π／7）+sin（π／7）がとり得る値はすべての実数でした。

今回の問題で、前問と異なるのは、tanθにかけられているcosaが変数であるということです。

0≦a＜2πでcosaがとり得る値は-1≦cosa≦1です。

cosaが0以外の値をとる場合は、前問同様、rも実数全体をとり得ます。

しかし、cosa=0のときはどうでしょうか？

cosa=0のとき、tanθcosaの項は０になり、r＝sina（定数）となり、qがとり得る値の範囲と異なります。

cosa=0となるのは、0≦a＜2πにおいてa=π/2,3π/2のときです。

したがって、rのとり得る範囲がqのとり得る値の範囲と異なるaは2つ存在します。