大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問77 (数学Ⅱ・数学B（第1問） 問16)

難問です。

sin(θ+a)=±cosθとなる場合、

rは約分でき、r＝±１と決まった値を取るようになります。

問題はそれ以外にqと異なるような範囲を取りうるような

aが存在するかどうかですが、

ここについては時間がなければそこまで検証できなくても

仕方ないと思います。

加法定理を用いて、前問同様にrの式を変形すると次のようになります。

r=(sinθcosa+cosθsina/cosθ)/cosθ=tanθcosa+sina

前問では、−π／2＜θ＜π／2においてtanθがすべての実数をとり得るため

q=tanθcos（π／7）+sin（π／7）がとり得る値はすべての実数でした。

今回の問題で、前問と異なるのは、tanθにかけられているcosaが変数であるということです。

0≦a＜2πでcosaがとり得る値は-1≦cosa≦1です。

cosaが0以外の値をとる場合は、前問同様、rも実数全体をとり得ます。

しかし、cosa=0のときはどうでしょうか？

cosa=0のとき、tanθcosaの項は０になり、r＝sina（定数）となり、qがとり得る値の範囲と異なります。

cosa=0となるのは、0≦a＜2πにおいてa=π/2,3π/2のときです。

したがって、rのとり得る範囲がqのとり得る値の範囲と異なるaは2つ存在します。