共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問123 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問6)

（※ベクトルOAは→OAと表記します。）
→OA₁・→OA₁ = (1, 0, a)・(1, 0, a) 
= 1² + 0 + a² =1+a²
前問（ケ）（コ）より a = 1/(√2) なので、
→OA₁・→OA₁ = 1 + 1/2 = 3/2

サ：3　シ：2 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
 

前問（ケ）（コ）

→B₁B₄ = →OB₄ - →OB₁ に着目します。
→OB₄ = →OA₁ + →A₁B₄ であり →A₁B₄ = →OA₄ なので、
→OB₄ =→OA₁ + →OA₄

= (1 ,0, a) + (0, -1 ,a) = (1, -1. 2a)
同様に、
→OB₁ = →OA₁ +→A₁B₁ =→OA₁ +→OA₂
= (1, 0, a) + (0, 1, a) = (1, 1, 2a)

よって、
→B₁B₄ = →OB₄ - →OB₁ 
= (1, -1, 2a) - (1 ,1, 2a)= (0, -2, 0)

ベクトルの絶対値の2乗を計算すると、
|→OB₁|² =1²+1²+4a²=2 +4a²
|→B₁B₄|²=0 +(-2)² +0 =4

 

問題文より2つのひし形の対角線の長さが等しいので、
|→OB₁| = |→B₁B₄| であり、同時に|→OB₁|² = |→B₁B₄|²
よって、2 +4a² = 4 ⇔ a² =1/2 
問題文より a >0 なので、a=1/(√2) =(√2)/2
 

図中の四角形はすべてひし形で、

向かい合う辺は平行で長さが等しいから、

同一ベクトルです。

つまり、同じ色のベクトルはすべて等しくなります。

 

なので、図の
黄色のベクトル：OA₁^→＝(1,0,a)

赤色のベクトル：OA₂^→＝(0,1,a)

緑色のベクトル：OA₃^→＝(-1,0,a)

水色のベクトル：OA₄^→＝(0,-1,a)

と表すことができます。

 

2つのひし形が合同で、

その対角線が等しくなるのは、
A₁A₂^→とB₄B₁^→の長さが等しい・・・①

もしくは

A₁A₂^→とA₁C₁^→の長さが等しい・・・②

いずれかの場合です。

 

それぞれの長さを求めると

A₁A₂^→=OA₂^→-OA₁^→

          =(0,1,a)-(1,0,a)

          =(-1,1,0)

より

|A₁A₂^→|=√1+1

             =√2

 

B₄B₁^→=A₁B₁^→-A₁B₄^→

          =OA₂^→-OA₄^→

          =(0,1,a)-(0,-1,a)

          =(0,2,0)

より

|B₄B₁^→|=2

 

A₁C₁^→=A₁B₁^→+B₁C₁^→

          =OA₂^→+OA₄^→

          =(0,1,a)+(0,-1,a)

          =(0,0,2a)

より

|A₁C₁^→|=2a

 

①より|A₁A₂^→|=|B₄B₁^→|は

|A₁A₂^→|=√2,|B₄B₁^→|=2のため不適

 

②より

|A₁A₂^→|=|A₁C₁^→|

       √2=2a

          a=√2/2

OA₁^→・OA₁^→=(1,0,a)・(1,0,a)

                   =a²+1

a=√2/2より

OA₁^→・OA₁^→=(√2/2)²+1

                    =1/2+1

                    =3/2