大学入学共通テスト（数学）過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問124 (数学Ⅱ・数学B（第5問）問7)

問題文

以下（　ス　）・（　セ　）にあてはまる組み合わせとして正しいものを選べ。

aを正の実数とする。Oを原点とする座標空間に4点
A₁（1，0，a）、A₂（0，1，a）、A₃（−1，0，a）、A₄（0，−1，a）がある。また、次の図のように、4点B₁、B₂、B₃、B₄を四角形A₁OA₂B₁、A₂OA₃B₂、A₃OA₄B₃、A₄OA₁B₄がそれぞれひし形になるようにとる。さらに、4点C₁、C₂、C₃、C₄を四角形A₁B₁C₁B₄、A₂B₂C₂B₁、A₃B₃C₃B₂、A₄B₄C₄B₃がそれぞれひし形になるようにとる。
ただし、座標空間における四角形を考える際には、その四つの頂点が同一平面上にあるものとする。問題文の画像

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問題

大学入学共通テスト（数学）試験令和4年度（2022年度）追・再試験問124（数学Ⅱ・数学B（第5問）問7）（訂正依頼・報告はこちら）

ス：1　　セ：2
ス：1　　セ：3
ス：2　　セ：3
ス：3　　セ：5

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この過去問の解説（2件）

図中の四角形はすべてひし形で、
向かい合う辺は平行で長さが等しいから、
同一ベクトルです。
つまり、同じ色のベクトルはすべて等しくなります。

なので、図の
黄色のベクトル：OA₁^→＝(1,0,a)
赤色のベクトル：OA₂^→＝(0,1,a)
緑色のベクトル：OA₃^→＝(-1,0,a)
水色のベクトル：OA₄^→＝(0,-1,a)
と表すことができます。

2つのひし形が合同で、
その対角線が等しくなるのは、
A₁A₂^→とB₄B₁^→の長さが等しい・・・①
もしくは
A₁A₂^→とA₁C₁^→の長さが等しい・・・②
いずれかの場合です。

それぞれの長さを求めると
A₁A₂^→=OA₂^→-OA₁^→
=(0,1,a)-(1,0,a)
=(-1,1,0)
より
|A₁A₂^→|=√1+1
=√2

B₄B₁^→=A₁B₁^→-A₁B₄^→
=OA₂^→-OA₄^→
=(0,1,a)-(0,-1,a)
=(0,2,0)
より
|B₄B₁^→|=2

A₁C₁^→=A₁B₁^→+B₁C₁^→
=OA₂^→+OA₄^→
=(0,1,a)+(0,-1,a)
=(0,0,2a)
より
|A₁C₁^→|=2a

①より|A₁A₂^→|=|B₄B₁^→|は
|A₁A₂^→|=√2,|B₄B₁^→|=2のため不適

②より
|A₁A₂^→|=|A₁C₁^→|
√2=2a
a=√2/2