共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問125 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問8)

（※ベクトルOAは→OAと表記します。）
→PA₂ = → OA₂ - →OP = (0, 1, a) - (s, 0, sa) 

= (-s, 1, a - sa)
→PA₂ ・→OA₁ =0 より、

(-s, 1, a - sa)・(1, 0, a) = 0 であるから、
-s + 0 + a² -sa² = 0

設問（ケ）（コ）より a = 1/(√2) なので、
-s + 1/2 - s/2 = 0 ⇔ 3s = 1 ⇔ s =1/3

ソ：1　タ：3 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

設問（ケ）（コ）

→B₁B₄ = →OB₄ - →OB₁ に着目します。
→OB₄ = →OA₁ + →A₁B₄ であり →A₁B₄ = →OA₄ なので、
→OB₄ =→OA₁ + →OA₄

= (1 ,0, a) + (0, -1 ,a) = (1, -1. 2a)
同様に、
→OB₁ = →OA₁ +→A₁B₁ =→OA₁ +→OA₂
= (1, 0, a) + (0, 1, a) = (1, 1, 2a)

よって、
→B₁B₄ = →OB₄ - →OB₁ 
= (1, -1, 2a) - (1 ,1, 2a)= (0, -2, 0)

ベクトルの絶対値の2乗を計算すると、
|→OB₁|² =1²+1²+4a²=2 +4a²
|→B₁B₄|²=0 +(-2)² +0 =4

 

問題文より2つのひし形の対角線の長さが等しいので、
|→OB₁| = |→B₁B₄| であり、同時に|→OB₁|² = |→B₁B₄|²
よって、2 +4a² = 4 ⇔ a² =1/2 
問題文より a >0 なので、a=1/(√2) =(√2)/2

OA₁^→・OA₁^→=(1,0,a)・(1,0,a)

                   =a²+1

a=√2/2より

OA₁^→・OA₁^→=(√2/2)²+1

                    =1/2+1

                    =3/2

 

OA₁^→・OA₂^→=(1,0,a)・(0,1,a)

                   =a²

a=√2/2より

OA₁^→・OA₂^→=(√2/2)²

                    =1/2

PA₂^→とOA₁^→が垂直なので、

PA₂^→・OA₁^→=0

ここで、

PA₂^→=OA₂^→-OP^→

         =OA₂^→-sOA₁^→

より

PA₂^→・OA₁^→=0

(OA₂^→-sOA₁^→)・OA₁^→=0

OA₂^→・OA₁^→-sOA₁^→・OA₁=0

ここに前問の値を代入して、

1/2-s・3/2=0

3s/2=1/2

s=1/3