共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問126 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問9)

（※ベクトルOAは→OAと表記します。）

設問（キ）により、 →OA₁・→OB₂ = 2a² -1
設問（ク）により、 →OA₁・→B₂C₃ = a²
設問（サ）（シ）により、 →OA₁・→OA₁ =3/2
次に、 →PQ = →OQ -→OP を計算します。
問題文より、 →OP = s(→OA₁)
問題文より、 →OQ = →OB₂ + t(→B₂C₃) 
よって、 →PQ = →OB₂ + t(→B₂C₃) - s(→OA₁)

問題文から →PQ・→OA₁ =0 なので、
→OB₂・→OA₁ + t(→B₂C₃)・→OA₁ - s(→OA₁)・→OA₁ = 0
すなわち、2a² -1 + ta² -(3/2)s =0
設問（ケ）（コ）より a = 1/(√2) であり、
設問（ソ）（タ）より s = 1/3 なので、
1 - 1 +t/2 -1/2 = 0
⇔ t = 1

「1」の選択肢が設問（チ）の解答となります。

設問（キ）

座標成分を使った内積の公式による計算をすると、
→OA₁・→OB₂ = (1, 0, a)・(-1, 1, 2a)
= -1 + 0 +2a² = 2a² -1

設問（ク）

→OA₄ = →B₂C₃ より、
→OA₁・→B₂C₃ = →OA₁・→OA₄
= (1, 0, a)・(0, -1, a) = 0 + 0 + a² = a²

設問（サ）（シ）

→OA₁・→OA₁ = (1, 0, a)・(1, 0, a) 
= 1² + 0 + a² =1+a²
前問（ケ）（コ）より a = 1/(√2) なので、
→OA₁・→OA₁ = 1 + 1/2 = 3/2

設問（ケ）（コ）

→B₁B₄ = →OB₄ - →OB₁ に着目します。
→OB₄ = →OA₁ + →A₁B₄ であり →A₁B₄ = →OA₄ なので、
→OB₄ =→OA₁ + →OA₄

= (1 ,0, a) + (0, -1 ,a) = (1, -1. 2a)
同様に、
→OB₁ = →OA₁ +→A₁B₁ =→OA₁ +→OA₂
= (1, 0, a) + (0, 1, a) = (1, 1, 2a)

よって、
→B₁B₄ = →OB₄ - →OB₁ 
= (1, -1, 2a) - (1 ,1, 2a)= (0, -2, 0)

ベクトルの絶対値の2乗を計算すると、
|→OB₁|² =1²+1²+4a²=2 +4a²
|→B₁B₄|²=0 +(-2)² +0 =4

 

問題文より2つのひし形の対角線の長さが等しいので、
|→OB₁| = |→B₁B₄| であり、同時に|→OB₁|² = |→B₁B₄|²
よって、2 +4a² = 4 ⇔ a² =1/2 
問題文より a >0 なので、a=1/(√2) =(√2)/2

設問（ソ）（タ）

→PA₂ = → OA₂ - →OP = (0, 1, a) - (s, 0, sa) 

= (-s, 1, a - sa)
→PA₂ ・→OA₁ =0 より、

(-s, 1, a - sa)・(1, 0, a) = 0 であるから、
-s + 0 + a² -sa² = 0

設問（ケ）（コ）より a = 1/(√2) なので、
-s + 1/2 - s/2 = 0 ⇔ 3s = 1 ⇔ s =1/3

OA₁^→・OB₂^→=(1,0,a)・(-1,1,2a)

                    =1・(-1)+0・1+a・2a

                    =2a²-1

OA₁^→・B₂C₃^→=(1,0,a)・(0,-1,a)

                    =1・0+0・(-1)+a・a

                    =a²

  a=√2/2

OA₁^→・OA₁^→=(1,0,a)・(1,0,a)

                   =a²+1

a=√2/2より

OA₁^→・OA₁^→=(√2/2)²+1

                    =1/2+1

                    =3/2

 

OA₁^→・OA₂^→=(1,0,a)・(0,1,a)

                   =a²

a=√2/2より

OA₁^→・OA₂^→=(√2/2)²

                    =1/2

 

PA₂^→とOA₁^→が垂直なので、

PA₂^→・OA₁^→=0

 

ここで、

PA₂^→=OA₂^→-OP^→

         =OA₂^→-sOA₁^→

より

PA₂^→・OA₁^→=0

(OA₂^→-sOA₁^→)・OA₁^→=0

OA₂^→・OA₁^→-sOA₁^→・OA₁=0

 

ここに前問の値を代入して、

1/2-s・3/2=0

3s/2=1/2

s=1/3

PQ^→がOA₁^→と垂直であるので、

PQ^→・OA₁^→=0・・・①

と表せます。

ここで

PQ^→=OQ^→-OP^→

前問より

OP^→=1/3OA₁^→

問題文より

OQ^→=OB₂^→+tB₂C₃^→

なので

PQ^→=(OB₂^→+tB₂C₃^→)-1/3OA₁^→

これを①に代入して、

{(OB₂^→+tB₂C₃^→)-1/3OA₁^→}・OA₁^→=0

OA₁^→・OB₂^→+OA₁^→・tB₂C₃^→-1/3OA₁^→・OA₁^→=0

2(√2/2)²-1+t(√2/2)²-1/3・3/2=0

1-1+1/2t-1/2=0

t=1