大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問126 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問9)

OA₁^→・OB₂^→=(1,0,a)・(-1,1,2a)

                    =1・(-1)+0・1+a・2a

                    =2a²-1

OA₁^→・B₂C₃^→=(1,0,a)・(0,-1,a)

                    =1・0+0・(-1)+a・a

                    =a²

  a=√2/2

OA₁^→・OA₁^→=(1,0,a)・(1,0,a)

                   =a²+1

a=√2/2より

OA₁^→・OA₁^→=(√2/2)²+1

                    =1/2+1

                    =3/2

 

OA₁^→・OA₂^→=(1,0,a)・(0,1,a)

                   =a²

a=√2/2より

OA₁^→・OA₂^→=(√2/2)²

                    =1/2

 

PA₂^→とOA₁^→が垂直なので、

PA₂^→・OA₁^→=0

 

ここで、

PA₂^→=OA₂^→-OP^→

         =OA₂^→-sOA₁^→

より

PA₂^→・OA₁^→=0

(OA₂^→-sOA₁^→)・OA₁^→=0

OA₂^→・OA₁^→-sOA₁^→・OA₁=0

 

ここに前問の値を代入して、

1/2-s・3/2=0

3s/2=1/2

s=1/3

PQ^→がOA₁^→と垂直であるので、

PQ^→・OA₁^→=0・・・①

と表せます。

ここで

PQ^→=OQ^→-OP^→

前問より

OP^→=1/3OA₁^→

問題文より

OQ^→=OB₂^→+tB₂C₃^→

なので

PQ^→=(OB₂^→+tB₂C₃^→)-1/3OA₁^→

これを①に代入して、

{(OB₂^→+tB₂C₃^→)-1/3OA₁^→}・OA₁^→=0

OA₁^→・OB₂^→+OA₁^→・tB₂C₃^→-1/3OA₁^→・OA₁^→=0

2(√2/2)²-1+t(√2/2)²-1/3・3/2=0

1-1+1/2t-1/2=0

t=1