共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問127 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問10)

（※ベクトルOAは→OAと表記します。）
（※本解説ではz軸の「負→正」の方向を「上」と記載します。）

設問（チ）の結果から t = 1 であり、

平面αとB₂C₃ の交点は C₃ に等しい事になります。
設問（エ）～（カ）と問題文から、
C₃ の座標は、(-1, 0, 3a) 
A₂ の座標は、(0, 1, a)  
A₄ の座標は、(0, -1 ,a)
A₂とA₄のx 座標に着目すると、x = 0 かつ y= 0 の位置で平面αは z = a > 0 の位置にあります。

またC₃のx座標が -1 < 0であり、 z座標が 3a > a である事から、 
平面αは z = 0 において x > 0 の範囲で xy 平面と交わる事になります。
よって、z軸の「負→正」の方向を上にみるとすると、点Oはz座標に関して平面αの下側にあります。

次に、 設問（ア）～（ウ）より、
→OB₂ = (-1, 1, 2a) なのでB₂はC₃と同じx座標で、
C₃よりもz座標に関して下側にあります。
平面αはA₂とA₄のx座標とz座標がともに等しい事から、
x を固定した時には ｙ の値に関わらず ｚ は一定になります。
よって、Ｂ₂は平面αの下側にあり、点Oを含む側にあります。
 

「Oを含む側」の選択肢が設問（ツ）の解答となります。

設問（チ）

設問（キ）により、 →OA₁・→OB₂ = 2a² -1
設問（ク）により、 →OA₁・→B₂C₃ = a²
設問（サ）（シ）により、 →OA₁・→OA₁ =3/2
次に、 →PQ = →OQ -→OP を計算します。
問題文より、 →OP = s(→OA₁)
問題文より、 →OQ = →OB₂ + t(→B₂C₃) 
よって、 →PQ = →OB₂ + t(→B₂C₃) - s(→OA₁)

問題文から →PQ・→OA₁ =0 なので、
→OB₂・→OA₁ + t(→B₂C₃)・→OA₁ - s(→OA₁)・→OA₁ = 0
すなわち、2a² -1 + ta² -(3/2)s =0
設問（ケ）（コ）より a = 1/(√2) であり、
設問（ソ）（タ）より s = 1/3 なので、
1 - 1 +t/2 -1/2 = 0
⇔ t = 1

設問（キ）

座標成分を使った内積の公式による計算をすると、
→OA₁・→OB₂ = (1, 0, a)・(-1, 1, 2a)
= -1 + 0 +2a² = 2a² -1

設問（ク）

→OA₄ = →B₂C₃ より、
→OA₁・→B₂C₃ = →OA₁・→OA₄
= (1, 0, a)・(0, -1, a) = 0 + 0 + a² = a²

設問（サ）（シ）

→OA₁・→OA₁ = (1, 0, a)・(1, 0, a) 
= 1² + 0 + a² =1+a²
前問（ケ）（コ）より a = 1/(√2) なので、
→OA₁・→OA₁ = 1 + 1/2 = 3/2

設問（ケ）（コ）

→B₁B₄ = →OB₄ - →OB₁ に着目します。
→OB₄ = →OA₁ + →A₁B₄ であり →A₁B₄ = →OA₄ なので、
→OB₄ =→OA₁ + →OA₄

= (1 ,0, a) + (0, -1 ,a) = (1, -1. 2a)
同様に、
→OB₁ = →OA₁ +→A₁B₁ =→OA₁ +→OA₂
= (1, 0, a) + (0, 1, a) = (1, 1, 2a)

よって、
→B₁B₄ = →OB₄ - →OB₁ 
= (1, -1, 2a) - (1 ,1, 2a)= (0, -2, 0)

ベクトルの絶対値の2乗を計算すると、
|→OB₁|² =1²+1²+4a²=2 +4a²
|→B₁B₄|²=0 +(-2)² +0 =4

 

問題文より2つのひし形の対角線の長さが等しいので、
|→OB₁| = |→B₁B₄| であり、同時に|→OB₁|² = |→B₁B₄|²
よって、2 +4a² = 4 ⇔ a² =1/2 
問題文より a >0 なので、a=1/(√2) =(√2)/2

設問（ソ）（タ）

→PA₂ = → OA₂ - →OP = (0, 1, a) - (s, 0, sa) 

= (-s, 1, a - sa)
→PA₂ ・→OA₁ =0 より、

(-s, 1, a - sa)・(1, 0, a) = 0 であるから、
-s + 0 + a² -sa² = 0

設問（ケ）（コ）より a = 1/(√2) なので、
-s + 1/2 - s/2 = 0 ⇔ 3s = 1 ⇔ s =1/3

設問（エ）～（カ）

問題文の図の4つのひし形の位置関係に注意します。
OA₄とA₃B₃は互いに平行で、かつ長さが等しく、
A₃B₃とB₂C₃も互いに平行で、かつ長さが等しいので、
→OA₄ = →A₃B₃ = →B₂C₃
他方で図より、→OC₃ = →OB₂ + →B₂C₃
よって、→OC₃ = →OB₂ + →OA₄
ここで、前問（ア）～（ウ）より、
→OB₂ = (-1, 1, 2a) なので、
→OC₃ = (-1, 1, 2a) + (0, -1, a)
= (-1, 0, 3a)
C₃ の座標は (-1, 0, 3a) です。

設問（ア）～（ウ）

問題文より四角形 OA₂B₂A₃ はひし形なので、
OA₃ とA₂B₂ は互いに平行で、かつ長さが等しい事になります。
よって、→OA₃ = →A₂B₂ です。
他方で図から、→OB₂ = →OA₂ +→A₂B₂ です。

よって、
→OB₂ = →OA₂ + →OA₃
= (0，1，a) + (−1，0，a)
= (-1, 1, 2a)
B₂の座標は (-1, 1, 2a) です。

PQ^→がOA₁^→と垂直であるので、

PQ^→・OA₁^→=0・・・①

と表せます。

 

ここで

PQ^→=OQ^→-OP^→

前問より

OP^→=1/3OA₁^→

問題文より

OQ^→=OB₂^→+tB₂C₃^→

なので

PQ^→=(OB₂^→+tB₂C₃^→)-1/3OA₁^→

 

これを①に代入して、

{(OB₂^→+tB₂C₃^→)-1/3OA₁^→}・OA₁^→=0

OA₁^→・OB₂^→+OA₁^→・tB₂C₃^→-1/3OA₁^→・OA₁^→=0

2(√2/2)²-1+t(√2/2)²-1/3・3/2=0

1-1+1/2t-1/2=0

t=1

t=1より

OQ^→=OB₂^→+B₂C₃^→

        =OC₃^→

となるので点Qと点C₃は一致します。

つまり、点C₃は平面α上にあります。

また、

OA₁^→・OB₂^→=2(√2/2)²-1=0

なのでOB₂^→はOA₁^→と垂直です。

このことからαとOB₂^→は

平行であることがわかります。

よって点B₂は平面αに対して

原点Oと同じ側にあります。

ベクトルB₂C₃=ベクトルOA₄

だから、B₂は原点に対応することが分かります。

したがって原点側です。