大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和4年度（2022年度）追・再試験
問127 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問10)

PQ^→がOA₁^→と垂直であるので、

PQ^→・OA₁^→=0・・・①

と表せます。

 

ここで

PQ^→=OQ^→-OP^→

前問より

OP^→=1/3OA₁^→

問題文より

OQ^→=OB₂^→+tB₂C₃^→

なので

PQ^→=(OB₂^→+tB₂C₃^→)-1/3OA₁^→

 

これを①に代入して、

{(OB₂^→+tB₂C₃^→)-1/3OA₁^→}・OA₁^→=0

OA₁^→・OB₂^→+OA₁^→・tB₂C₃^→-1/3OA₁^→・OA₁^→=0

2(√2/2)²-1+t(√2/2)²-1/3・3/2=0

1-1+1/2t-1/2=0

t=1

t=1より

OQ^→=OB₂^→+B₂C₃^→

        =OC₃^→

となるので点Qと点C₃は一致します。

つまり、点C₃は平面α上にあります。

また、

OA₁^→・OB₂^→=2(√2/2)²-1=0

なのでOB₂^→はOA₁^→と垂直です。

このことからαとOB₂^→は

平行であることがわかります。

よって点B₂は平面αに対して

原点Oと同じ側にあります。

ベクトルB₂C₃=ベクトルOA₄

だから、B₂は原点に対応することが分かります。

したがって原点側です。