共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問3 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問3)

問題文にもあるように負の数で不等式の両辺を割る時の不等号の向きに注意します。
設問（ア）～（エ）より、問題文の不等式は次式になります。
-8 ≦ (1 - √3)(a - b)(c - d) ≦ -4 
この式の各辺に -1 を掛けると、
4 ≦ {(√3) - 1}(a - b)(c - d) ≦ 8 となり、
4/{(√3) - 1} ≦ (a - b)(c - d) ≦ 8/{(√3) - 1} と変形できます。

よって、問題文の不等式の左辺は次のようになります。
4/{(√3) - 1) = 4(1 + √3)/[ {(√3) - 1} {(√3) + 1} ]
= 4(1 + √3)/2 = 2 +2√3

オ：2　カ：2 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

設問（ア）（イ）

x + 6 < 0 の時、
すなわち問題文の不等式の左辺が -x - 6 の時、
-x - 6 ≦ 2 ⇔ -8 ≦ x となります。

設問（ウ）（エ）

x + 6 > 0 の時、
すなわち問題文の不等式の左辺が x + 6 の時、
x + 6 ≦ 2 ⇔ x ≦ -4 となります。

問題の最初にある不等式 |x＋6|≦2をまず解いておきます。

（アイ），（ウエ）のところの解説から引用します。

まず x+6 の範囲を考えます。

x+6 の絶対値が 2 以下である，すなわち

x+6 は原点との距離が 2 以下の点が表す数なので，

－2≦x＋6≦2

各辺からそれぞれ 6 を引いて

－2－6≦x＋6－6≦2－6

すなわち

－8≦x≦－4

となります。

（もっと詳しく知りたい方は次のリンクを参考にしてください）

https://kakomonn.com/ktsugaku/questions/85643

以上から，不等式 |x+2| ≦ 2 の解は －8≦ x≦ －4 です。

となります。（不等号の向きに注意してください）

小さい順に並べ直すと

であることがわかります。

したがって，（オ）は 2 ，（カ）も 2 です。

与えられた不等式を展開します。

-2≦(1-√3)(a-b)(c-d)+6≦2

⇔-8≦(1-√3)(a-b)(c-d)≦-4

ここで1-√3＜0 なので不等号が逆転します。

そうすると

-4/(1-√3)≦(a-b)(c-d)≦-8/(1-√3)

-4/(1-√3)を有理化すると

-4/(1-√3)

=-4(1+√3)/{(1-√3)(1+√3)}

=-4(1+√3)/(-2)

=2+2√3