共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問7 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問7)
問題文
（ シ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
〔2〕（1）点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A、BをAB＝6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A、Bとは異なる点Cをとる。
（ⅰ）sin∠ACB＝（ サ ）である。また、点Cを∠ACBが鈍角となるようにとるとき、cos∠ACB＝（ シ ）である。
（ⅱ）点CをΔABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、
tan∠OAD＝（ ス ）である。また、ΔABCの面積は（ セソ ）である。
〔2〕（1）点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A、BをAB＝6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A、Bとは異なる点Cをとる。
（ⅰ）sin∠ACB＝（ サ ）である。また、点Cを∠ACBが鈍角となるようにとるとき、cos∠ACB＝（ シ ）である。
（ⅱ）点CをΔABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、
tan∠OAD＝（ ス ）である。また、ΔABCの面積は（ セソ ）である。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問7（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
（ シ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
〔2〕（1）点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A、BをAB＝6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A、Bとは異なる点Cをとる。
（ⅰ）sin∠ACB＝（ サ ）である。また、点Cを∠ACBが鈍角となるようにとるとき、cos∠ACB＝（ シ ）である。
（ⅱ）点CをΔABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、
tan∠OAD＝（ ス ）である。また、ΔABCの面積は（ セソ ）である。
〔2〕（1）点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A、BをAB＝6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A、Bとは異なる点Cをとる。
（ⅰ）sin∠ACB＝（ サ ）である。また、点Cを∠ACBが鈍角となるようにとるとき、cos∠ACB＝（ シ ）である。
（ⅱ）点CをΔABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、
tan∠OAD＝（ ス ）である。また、ΔABCの面積は（ セソ ）である。
- 3／5
- 3／4
- 4／5
- 1
- 4／3
- −3／5
- −3／4
- −4／5
- −1
- −4／3
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この過去問の解説 （3件）
01
前問（サ）より sin∠ACB = 3/5 です。
よって、
cos2∠ACB = 1- 9/25 =16/25
問題文より∠ACB は鈍角なので、
cos∠ACB = - 4/5
「- 4/5」の選択肢が設問（シ）の解答となります。
前問（サ）
cos2∠ACB = 16/25 を導出した後の正負の符号について、
余弦は角が鋭角の時に正の値、
直角の時に 0、
鈍角の時に負の値をとります。
sin2θ + cos2θ = 1 の公式と、
cosθ は 90°< θ ≦ 180° の時に負の値になる事を使用します。
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02
前の問題（問6）で，sin∠ACB の値を求めています。
点 C が直線 AB に関して円の中心 O と同じ側にあるときには
∠ACB は鋭角になり，
点 C が直線 AB に関して円の中心 O と反対側にあるときには
∠ACB は鈍角になります。この問題では，∠ACB は鈍角です。
正解です。
正弦定理や余弦定理の公式は，ΔABCにおいて BC=a，CA=b，AB=c として教科書や参考書に掲載されていることがほとんどです。公式をただ覚えるだけでなく，頂点や辺の位置関係を正しく理解して，「ΔPQR」など文字の使い方が公式通りでなくても対応できるようにしておきましょう。そして，正弦定理・余弦定理で解ける問題は，数学Ⅰのたいていの問題集にたくさんありますから，しっかり練習しておきましょう。
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03
三角比の相互関係を用いる問題です。
三角比の相互関係より、
sin2∠ACB + cos2∠ACB = 1
cos2∠ACB = 1 - 16/25
cos∠ACB = ±4/5
鈍角より、cos∠ACB < 0 なので
cos∠ACB = -4/5
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