共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問13 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問13)

（※問題文と同じく、線分ABの長さをABと記述します。）
前問（ナ）の条件のもとで三角錐の体積を考えます。
PH を通り、三角形PQRに垂直になるように球を切断した断面図を考えます。

まず、三角形PQRの外接円の半径PHを計算します。
正弦定理より、QR/sin∠QPR = 2PH

設問（ツ）（テト）によりsin∠QPR=(√11)/6 なので、
PH={5・6/(√11)}/2 =15/√11

次に球の中心を O とすると、
問題文により線分 OP は球の半径なので OP = 5 です。
同様に問題文により、線分 OT も球の半径なので OT = 5 です。
三平方の定理により、
OH² = OP² + PH² = 25 - 225/11= 50/11 なので、
OH = (5√2)/√11
よって求める三角錐の高さは、
OH + OT = 5 + (5√2)/√11 

ここで設問（ツ）（テト）より、三角形PQRの面積は 6√11 です。
したがって求める三角錐の体積は、
(6√11)・{5 + (5√2)/√11}/3
= (2√11)・{5 + (5√2)/√11}
= (10√11) + 10√2 = 10{(√11) + √2}

ニヌ：10　ネノ：11　ハ：2 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
 

前問（ナ）

問題文の三角錐の体積が最大になるように高さをとるためには、
底面から見た球の頂上となる点から垂線を下ろす必要があります。
その垂線は球の中心を通ります。底面は三角形PQRです。

さらに、その時に垂線の足（考えている平面と垂線の交点）となる点Hは、

三角形の外接円の中心に位置する事になります。
その時に線分PH、線分QH、線分RH は三角形PQRの外接円の半径となるので、
PH = QH = RH の関係がある事になります。

設問（ツ）（テト）

前問（タ）（チ）により cos∠QPR=5/6
よって、sin∠QPR=√(1-25/36)=(√11)/6
すると、
線分PQ を底辺として考えた時に三角形PQRの高さは、
RP・sin∠QPR ＝ 9・(√11)/6 = (3√11)/2
よって三角形PQRの面積は、
PQ・(RP・sin∠QPR)/2 = 8・ {(3√11)/2}/2
=6√11

設問（タ）（チ）

余弦定理より、
QR² = PQ² + RP² -2・PQ・RP・cos∠QPR
問題文より、
QR = 5
PQ = 8
RP = 9
よって、
25 = 64 + 81 - 2・8・9・cos∠QPR
cos∠QPR = 120/(2・8・9) = 15/18 = 5/6

前問（問 12 ）で，三角錐 TPQR の体積 V を TH で表しました。

△ PQR を底面として体積を考えると，高さは TH なので 

また，同じくPH=QH=RH であることも示しました。

OH が平面 a に垂直であるため，

∠OHQ=∠OHR=90° です。

2 つの直角三角形 △OHQ と △OHR において

OQ=OR=5 （球 S の半径）

OH=OH （共通）

斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいので，

△ OHQ ≡ △ OHR

したがって， QH=RH が導かれます。

 

また，△ OHP と△ OHQ に着目して

同様に考えると PH=QH が導かれます。

 

すなわち， PH=QH=RH が成り立ちます。

PH=QH=RH であることから，

点 H は△PQR の外接円の中心であり，

外接円の半径はPHであることがわかります。

また，問11 で sin∠QPR の値を求めているので，利用できます。

正弦定理により

前問よりHが△PQRの外心であることがわかります。ここから底面積と高さを求めて、体積を求めていきます。