大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問13 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問13)

前問（問 12 ）で，三角錐 TPQR の体積 V を TH で表しました。

△ PQR を底面として体積を考えると，高さは TH なので 

また，同じくPH=QH=RH であることも示しました。

OH が平面 a に垂直であるため，

∠OHQ=∠OHR=90° です。

2 つの直角三角形 △OHQ と △OHR において

OQ=OR=5 （球 S の半径）

OH=OH （共通）

斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいので，

△ OHQ ≡ △ OHR

したがって， QH=RH が導かれます。

 

また，△ OHP と△ OHQ に着目して

同様に考えると PH=QH が導かれます。

 

すなわち， PH=QH=RH が成り立ちます。

PH=QH=RH であることから，

点 H は△PQR の外接円の中心であり，

外接円の半径はPHであることがわかります。

また，問11 で sin∠QPR の値を求めているので，利用できます。

正弦定理により

前問よりHが△PQRの外心であることがわかります。ここから底面積と高さを求めて、体積を求めていきます。