共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問12 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問12)

問題文の三角錐の体積が最大になるように高さをとるためには、
底面から見た球の頂上となる点から垂線を下ろす必要があります。
その垂線は球の中心を通ります。底面は三角形PQRです。

さらに、その時に垂線の足（考えている平面と垂線の交点）となる点Hは、

三角形の外接円の中心に位置する事になります。
その時に線分PH、線分QH、線分RH は三角形PQRの外接円の半径となるので、
PH = QH = RH の関係がある事になります。

「PH = QH = RH」の選択肢が設問（ナ）の解答となります。

三角錐 TPQR の体積を V とします。

前問（問 11 ）で求めた△ PQR の面積を利用するために，

△ PQR を底面として体積を考えると，高さは TH なので 

したがって，三角錐 TPQR の体積 V が最大となるためには，

TH が最大となればよいことがわかります。

※前問の内容については，ページ下部の「解説のまとめ」にあります。

TH が最大となるのは，図 1 のように

線分 TH が球 S の中心 O を通るときです。

次に，図2 のように△ OHQ と△ OHR に着目します。

OH が平面 a に垂直であるため，

∠OHQ=∠OHR=90° です。

2 つの直角三角形 △OHQ と △OHR において

OQ=OR=5 （球 S の半径）

OH=OH （共通）

斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいので，

△ OHQ ≡ △ OHR

したがって， QH=RH が導かれます。

また，△ OHP と△ OHQ に着目して

同様に考えると PH=QH が導かれます。

すなわち， PH=QH=RH が成り立ちます。