共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問36 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問4)

問題文より「正方形ではない」ので、差の絶対値として０は除外されます。

設問（キク）の計算過程の考え方を使い、
21・4 = 84
5・17 = 85 である事に着目すると、 
(11・7・3・2)・4 - (11・5・2)・17 =11・2(84 - 85)
= - 22 
このときに「縦の長さ」が「横の長さ」を 22 上回ります。
110 と 462 はともに22 (= 11・2) の倍数なので、
0以上の整数を掛けて差を考えたときの絶対値は、

0 を除くと22 を下回る事はありません。
よって、上記の場合が本設問の題意を満たす場合です。

求めるものはその時の「横の長さ」なので、
(11・7・3・2)・4 = 462・4 = 1848 です。

「1848」の選択肢が設問（ケコサシ）の解答となります。

設問（キク）

462 = 11・42 = 11・7・3・2
110 = 11・10 = 11・5・2
共通していない約数である 7・3 = 21 と 5 に着目します。
5・4 = 20 であり、
21 - 20 = 1 を考えると、差の絶対値を最小にできます。

求める最小値は、
11・7・3・2 - (11・5・2)・4 = 11・2・(21 - 20) = 22 です。

前の問題（問35）で，（　キク　）が22であることを求めています。

x，yを自然数として，赤い長方形を横にx個，縦にy個並べて長方形を作るとします。

横の長さは462x，縦の長さは110yとなりますから，その差は

462x－110y＝22（21x－5y）

となります。

また，正方形ではない長方形を作るときですから，横の長さと縦の長さの差は0ではありません。すなわち，

21x－5y≠0

さらに，x＝1，y＝4のとき21x－5y＝1 となりますから，21x－5yの絶対値の最小値は1です。

したがって，横の長さと縦の長さの差22（21x－5y）の絶対値が最小になるのは，差の絶対値が22になるときです。

本問では，このxとyを用いて解いていきます。

縦の長さが横の長さより22長い長方形なので，

110y－462x＝22

両辺をー22で割って　21x－5y＝－1 ……①

①を満たす自然数x，yの組のうち，xが最小であるものを考えていきます。

（x,y）＝（－1，－4）は等式①を満たします。すなわち，

21×（－1）－5×（－4）＝－1 ……②

①，②を辺々引いて

21（x＋1）－5（y＋4）＝0

21（x＋1）＝5（y＋4）

左辺は21の倍数，右辺は5の倍数で，両辺は等しいので，両辺は21と5の公倍数です。

21と5が互いに素であることから，21と5の公倍数は，整数kを用いて

21×5k

と表すことができます。よって

21（x＋1）＝5（y＋4）＝21×5k

21（x＋1）＝21×5k ， 5（y＋4）＝21×5k

x＋1＝5k ， y＋4＝21k

すなわち

x＝5k－1 ， y＝21k―4 ……③

③において，k=1 のときx，yともに正で最小になります。

このとき x＝5×1－1＝4

横の長さは 462×4＝1848

問題の意味を正しく読み取りましょう。誘導にうまく乗って前問の式を用いましょう。