大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問36 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問4)

前の問題（問35）で，（　キク　）が22であることを求めています。

x，yを自然数として，赤い長方形を横にx個，縦にy個並べて長方形を作るとします。

横の長さは462x，縦の長さは110yとなりますから，その差は

462x－110y＝22（21x－5y）

となります。

また，正方形ではない長方形を作るときですから，横の長さと縦の長さの差は0ではありません。すなわち，

21x－5y≠0

さらに，x＝1，y＝4のとき21x－5y＝1 となりますから，21x－5yの絶対値の最小値は1です。

したがって，横の長さと縦の長さの差22（21x－5y）の絶対値が最小になるのは，差の絶対値が22になるときです。

本問では，このxとyを用いて解いていきます。

縦の長さが横の長さより22長い長方形なので，

110y－462x＝22

両辺をー22で割って　21x－5y＝－1 ……①

①を満たす自然数x，yの組のうち，xが最小であるものを考えていきます。

（x,y）＝（－1，－4）は等式①を満たします。すなわち，

21×（－1）－5×（－4）＝－1 ……②

①，②を辺々引いて

21（x＋1）－5（y＋4）＝0

21（x＋1）＝5（y＋4）

左辺は21の倍数，右辺は5の倍数で，両辺は等しいので，両辺は21と5の公倍数です。

21と5が互いに素であることから，21と5の公倍数は，整数kを用いて

21×5k

と表すことができます。よって

21（x＋1）＝5（y＋4）＝21×5k

21（x＋1）＝21×5k ， 5（y＋4）＝21×5k

x＋1＝5k ， y＋4＝21k

すなわち

x＝5k－1 ， y＝21k―4 ……③

③において，k=1 のときx，yともに正で最小になります。

このとき x＝5×1－1＝4

横の長さは 462×4＝1848

問題の意味を正しく読み取りましょう。誘導にうまく乗って前問の式を用いましょう。