共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問40 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問8)
問題文
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分（じゅうぶん）あるものとする。
（1）横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは（ アイ ）である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ウエオカ ）のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が（ キク ）になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより（ キク ）長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが（ ケコサシ ）のものである。
（2）花子さんと太郎さんは、（1）で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが（ スセソ ）のものであり、図2のような長方形は縦の長さが（ スセソ ）の倍数である。
二人は、次のように話している。
花子：赤い長方形と青い長方形を図のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは（ スセソ ）の倍数でもないといけないね。
462と363の最大公約数は（ タチ ）であり、（ タチ ）の倍数のうちで（ スセソ ）の倍数でもある最小の正の整数は（ ツテトナ ）である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ニヌネノ ）のものであることがわかる。
（ ニヌネノ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（1）横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは（ アイ ）である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ウエオカ ）のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が（ キク ）になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより（ キク ）長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが（ ケコサシ ）のものである。
（2）花子さんと太郎さんは、（1）で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが（ スセソ ）のものであり、図2のような長方形は縦の長さが（ スセソ ）の倍数である。
二人は、次のように話している。
花子：赤い長方形と青い長方形を図のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは（ スセソ ）の倍数でもないといけないね。
462と363の最大公約数は（ タチ ）であり、（ タチ ）の倍数のうちで（ スセソ ）の倍数でもある最小の正の整数は（ ツテトナ ）である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ニヌネノ ）のものであることがわかる。
（ ニヌネノ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問40（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える。色のついた長方形は、向きを変えずにすき間なく並べることとし、色のついた長方形は十分（じゅうぶん）あるものとする。
（1）横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは（ アイ ）である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ウエオカ ）のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が（ キク ）になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより（ キク ）長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが（ ケコサシ ）のものである。
（2）花子さんと太郎さんは、（1）で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが（ スセソ ）のものであり、図2のような長方形は縦の長さが（ スセソ ）の倍数である。
二人は、次のように話している。
花子：赤い長方形と青い長方形を図のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは（ スセソ ）の倍数でもないといけないね。
462と363の最大公約数は（ タチ ）であり、（ タチ ）の倍数のうちで（ スセソ ）の倍数でもある最小の正の整数は（ ツテトナ ）である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ニヌネノ ）のものであることがわかる。
（ ニヌネノ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
（1）横の長さが462で縦の長さが110である赤い長方形を、図1のように並べて正方形や長方形を作ることを考える。
462と110の両方を割り切る素数のうち最大のものは（ アイ ）である。
赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ウエオカ ）のものである。
また、赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき、横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは、462の約数と110の約数を考えると、差の絶対値が（ キク ）になるときであることがわかる。
縦の長さが横の長さより（ キク ）長い長方形のうち、横の長さが最小であるものは、横の長さが（ ケコサシ ）のものである。
（2）花子さんと太郎さんは、（1）で用いた赤い長方形を1枚以上並べて長方形を作り、その右側に横の長さが363で縦の長さが154である青い長方形を1枚以上並べて、図2のような正方形や長方形を作ることを考えている。
このとき、赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと、青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい。よって、図2のような長方形のうち、縦の長さが最小のものは、縦の長さが（ スセソ ）のものであり、図2のような長方形は縦の長さが（ スセソ ）の倍数である。
二人は、次のように話している。
花子：赤い長方形と青い長方形を図のように並べて正方形を作ってみようよ。
太郎：赤い長方形の横の長さが462で青い長方形の横の長さが363だから、図のような正方形の横の長さは462と363を組み合わせて作ることができる長さでないといけないね。
花子：正方形だから、横の長さは（ スセソ ）の倍数でもないといけないね。
462と363の最大公約数は（ タチ ）であり、（ タチ ）の倍数のうちで（ スセソ ）の倍数でもある最小の正の整数は（ ツテトナ ）である。
これらのことと、使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も1枚以上であることから、図2のような正方形のうち、辺の長さが最小であるものは、一辺の長さが（ ニヌネノ ）のものであることがわかる。
（ ニヌネノ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
- 6900
- 6930
- 7000
- 7030
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
（※青い長方形を「青」、赤い長方形を「赤」と略記します。）
設問（スセソ）から縦の長さは 770 の倍数です。
また、問題文に数値を入れて整理すると、
「462と363の最大公約数は33であり、
33の倍数のうちで770の倍数でもある最小の正の整数は2310である。」
それと同時に、
「青」の横の長さは 363 = 11・11・3 = 33・11
「赤」の横の長さは 462 = 11・7・3・2 = 33・14
これら2つの値の合計が 770 の倍数になればよく、
設問（ツテトナ）より 33・70 = 2310 であったので、
11n + 14m = 70r となる 0 より大きい整数 n, m, r を探します。
この式から n は偶数である必要があるので 2N = n とすると、
22N + 14m = 70r ⇔ 11N + 7m = 35r ⇔ 11N = 7(-m + 5r)
よってN は 7 の倍数で、この式を満たす最小の N, m, r は、
11・7 = 7(-4 + 5・3)
つまり N = 7, n = 14, m = 4, r = 3 です。
よって、横方向に関して「青」は 14個、「赤」は 4 個必要で、
かつ、それらが最小の値になります。
その条件で「正方形」の横の長さを計算すると、
363・14+ 462・4 = 5082 + 1848 = 6930 (= 770・9)
「6930」の選択肢が設問（ニヌネノ）の解答となります。
設問（ツテトナ）
前問（タチ）
設問（スセソ）
上記解説の後半部分においては、
11N = 7(-m + 5r) の式が出た時点で、N は 7 の倍数だと分かり、
m の値を調整すればいくらでも式を満たせるはずとの予測から、
まず N = 7 から試しています。結果的にはそれが最小の値でした。
式の右辺は -m + 5r = 11 になるような m と r を、
r から先に、小さい値の順から試しています。
（11n + 14m = 70r の式を作った時点でも 11n = 14(-m + 5r) として計算できますが、計算がやや込み入ります。）
最後の計算は、33・70r = 2310・3 = 6930 のように計算する事もできます。
再び「図」に戻った設問ですが、問題としては整数問題です。
短時間で解答を出すのは簡単ではないかもしれませんが、
ヒントを探し出して解きたい問題です。
上記解説のやり方では、前半の次の部分に着目できれば、
解答を導出するための計算が見えてきます。
得られた結果は 770 の倍数になっているかもチェックしましょう。
本設問は前の設問で正しい結果を得ている必要もあり、
決して易しい問題とは言えませんが同じ程度の難易度の問題には慣れておきましょう。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
問37で（ スセソ ）は770，問38で（ タチ ）は33であることをそれぞれ求めましたから，
図2のような正方形の縦の長さは770の倍数です。
また，横の長さは33の倍数であることが必要です。
（33の倍数であることは横の長さの必要条件であり，十分条件ではないことに注意が必要です。）
正方形の縦横の長さは等しいので，1辺の長さは770と33の公倍数であることが必要です。
また，前の問題（問39）で，（ ツテトナ ）が2310であることを求めました。
よって，正方形の1辺の長さは2310の倍数であることが必要となります。
2310の倍数は，整数mを用いて2310mと表すことができます。
特にこの問題では2310mは正方形の1辺の長さですから，mは自然数であることが必要です。
赤い長方形を横にx個，青い長方形を横にy個並べるとすると，
正方形の横の長さについて
462x＋363y＝2310m ……①
が成り立ちます。この①を満たす自然数の組（x，y）が存在するような最小の自然数mを求めます。
①の両辺を33で割って
14x＋11y＝70m ……②
x＝5m，y＝0を代入すると等式②が成り立ちます。すなわち
14×5m＋11×0＝70m ……③
②，③を辺々引いて
14（x－5m）＋11y＝0
14（x－5m）＝－11y
左辺は14の倍数，右辺は11の倍数で，両辺は等しいので，両辺は14と11の公倍数です。
14と11が互いに素であることから，14と11の公倍数は，整数nを用いて
14×11n
と表すことができます。よって
14（x－5m）＝－11y＝14×11n
14（x－5m）＝14×11n ，－11y＝14×11n
x－5m＝11n， y＝－14n
すなわち
x＝11n＋5m ， y＝－14n ……④
①の式を④のように変形してきました。
①のところで書いたように，これを満たす自然数の組（x，y）が存在するような最小の自然数mを求めます。
y＝－14n より，yが自然数となるための条件は，nが負であることです。
x＝11n＋5m より x＝5m－(－11n) となりますので，
xが自然数となるための条件は，5m>－11n であることです。
mを最小にするためには，－11n を最小にする必要があります。
nは負の整数なので，n＝－1のとき －11n は最小値11をとります。
このとき 5m＞11 となり，これを満たす最小の自然数mは m＝3 です。
したがって，求める一辺の長さは
2310×3=6930
正解です。
一次不定方程式の応用問題です。解説の②の式のように右辺に文字を含む場合も，1組の解がわかれば基本的な解き方がそのまま使えます。
参考になった数0
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03
前問より、横の長さが2310の倍数であれば敷き詰められることがわかりました。これを利用して、一次不定方程式を解いていきます。
横方向に赤い長方形をc枚、青い長方形をd枚並べたとします。前問より、
462c+363d=2310k (c,d,kは自然数)
素因数分解の形から、両辺を簡単にします。
(2×3×7×11)c+(3×112)d=(2×3×5×7×11)k
(2×7)c+11d=(2×5×7)k
11d=(2×7)(5k-c)
以上より、5k-cが11の倍数であることがわかります。
よって、5k-c=11としてみると、k=3、c=4が最小の自然数k、cとして見つかります。よってkの最小値が3とわかるので、
2310×3=6930が求める一辺の長さとなります。
参考になった数0
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