大学入学共通テスト（数学）過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問48 (数学Ⅰ・数学A（第5問）問8)

問題文

（2）円Oに対して、（1）の手順1とは直線lの引き方を変え、次の手順2で作図を行う。

＜手順2＞
（Step1）円Oと共有点をもたない直線lを引く。中心Oから直線lに垂直な直線を引き、直線lとの交点をPとする。
（Step2）円Oの周上に、点Qを∠POQが鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
（Step3）点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
（Step4）点Sにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をTとする。

このとき、∠PTS＝（　キ　）である。

円Oの半径が√5で、OT＝3√6であったとすると、3点O、P、Rを通る円の半径は
（　ク　）√（　ケ　）／（　コ　）であり、RT＝（　サ　）である。

（　サ　）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。問題文の画像

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問題

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この過去問の解説（2件）

前の問題（問47）で，点RはΔPSTの外接円上にあり，その外接円は線分OTを直径とする円であることを示しました。

前の問題（問46）で，次の二つのことを示しました。
(1) 4点O，P，S，Tは線分OTを直径とする同一円周上にある。
(2) ∠PTS＝∠QRS

(1)より，線分OTを直径とする円はΔPSTの外接円であり，点Oはこの円上にあります。

四角形PTSRに着目すると，(2)より，内角∠PTSと，その対角の外角∠QRSが等しいので，
四角形PTSRは円に内接することがわかります。
この円は，ΔPSTの外接円にもなっていますから，点RはΔPSTの外接円上にあることになります。

以上のことから，点Oと点RはどちらもΔPSTの外接円上にあるので，
「3点O、P、Rを通る円」とはすなわちΔPSTの外接円です。