大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問47 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問7)
問題文
（2）円Oに対して、（1）の手順1とは直線lの引き方を変え、次の手順2で作図を行う。
＜手順2＞
（Step1）円Oと共有点をもたない直線lを引く。中心Oから直線lに垂直な直線を引き、直線lとの交点をPとする。
（Step2）円Oの周上に、点Qを∠POQが鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
（Step3）点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
（Step4）点Sにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をTとする。
このとき、∠PTS＝（ キ ）である。
円Oの半径が√5で、OT＝3√6であったとすると、3点O、P、Rを通る円の半径は
（ ク ）√（ ケ ）／（ コ ）であり、RT＝（ サ ）である。
（ ク ）、（ ケ ）、（ コ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
＜手順2＞
（Step1）円Oと共有点をもたない直線lを引く。中心Oから直線lに垂直な直線を引き、直線lとの交点をPとする。
（Step2）円Oの周上に、点Qを∠POQが鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
（Step3）点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
（Step4）点Sにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をTとする。
このとき、∠PTS＝（ キ ）である。
円Oの半径が√5で、OT＝3√6であったとすると、3点O、P、Rを通る円の半径は
（ ク ）√（ ケ ）／（ コ ）であり、RT＝（ サ ）である。
（ ク ）、（ ケ ）、（ コ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問47（数学Ⅰ・数学A（第5問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
（2）円Oに対して、（1）の手順1とは直線lの引き方を変え、次の手順2で作図を行う。
＜手順2＞
（Step1）円Oと共有点をもたない直線lを引く。中心Oから直線lに垂直な直線を引き、直線lとの交点をPとする。
（Step2）円Oの周上に、点Qを∠POQが鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
（Step3）点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
（Step4）点Sにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をTとする。
このとき、∠PTS＝（ キ ）である。
円Oの半径が√5で、OT＝3√6であったとすると、3点O、P、Rを通る円の半径は
（ ク ）√（ ケ ）／（ コ ）であり、RT＝（ サ ）である。
（ ク ）、（ ケ ）、（ コ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
＜手順2＞
（Step1）円Oと共有点をもたない直線lを引く。中心Oから直線lに垂直な直線を引き、直線lとの交点をPとする。
（Step2）円Oの周上に、点Qを∠POQが鈍角となるようにとる。直線PQを引き、円Oとの交点でQとは異なる点をRとする。
（Step3）点Qを通り直線OPに垂直な直線を引き、円Oとの交点でQとは異なる点をSとする。
（Step4）点Sにおける円Oの接線を引き、直線lとの交点をTとする。
このとき、∠PTS＝（ キ ）である。
円Oの半径が√5で、OT＝3√6であったとすると、3点O、P、Rを通る円の半径は
（ ク ）√（ ケ ）／（ コ ）であり、RT＝（ サ ）である。
（ ク ）、（ ケ ）、（ コ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
- ク：3 ケ：6 コ：2
- ク：3 ケ：3 コ：2
- ク：3 ケ：6 コ：3
- ク：4 ケ：6 コ：2
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この過去問の解説 （2件）
01
前の問題（問46）で，次の二つのことを示しました。
(1) 4点O，P，S，Tは線分OTを直径とする同一円周上にある。
(2) ∠PTS＝∠QRS
(1)より，線分OTを直径とする円はΔPSTの外接円であり，点Oはこの円上にあります。
四角形PTSRに着目すると，(2)より，内角∠PTSと，その対角の外角∠QRSが等しいので，
四角形PTSRは円に内接することがわかります。
この円は，ΔPSTの外接円にもなっていますから，点RはΔPSTの外接円上にあることになります。
以上のことから，点Oと点RはどちらもΔPSTの外接円上にあるので，
「3点O、P、Rを通る円」とはすなわちΔPSTの外接円です。
(1)より線分OTはこの円の直径ですから，求める半径は
正解です。
問46までが理解できていれば比較的考えやすい問題です。
問42から順に，問題の誘導にうまく乗って解き進めていくことが早道です。
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02
円の直径を見出し、長さを具体的に求めていく問題です。
（１）と同様に進めていきます。
前問より、4点R,P,T,Sは同一円周上にあります。よって今回、5点O,R,P,T,Sが同一円周上にあることがわかります。
円周角の定理と、∠OPT=90°であることから、OTは5点O,R,P,T,Sを通る円の直径なので、求める円の半径は、
OT/2=3√6/2となります。
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