共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問67 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問3)

f '(x) = -3x2 +2kx =-x(3x - 2k)
問題文の冒頭から k > 0 である事と、
導関数が上に凸（とつ）の2次関数である事に注意します。

導関数は 0 より大きく 2k/3 未満の範囲で正であり、
x = 0 と x = 2k/3 で 0 となり、
それ以外の範囲では負となります 。
 

よって f(x) の増減は x の増加に対応して次のようになります。
「0未満で減少」→「0で極小」→「2k/3 未満まで増加」→「2k/3で極大」→「それ以降は減少」
x = 0 のとき、f(x) は極小となります。

「0」の選択肢が設問（オ）の解答となります。

f（x）=x²（k−x）

　　=−x³+kx²

これを微分すると、

f′（x）＝-3x²＋2kx

f′（x）は

f′（x）＝(-3x＋2k)x

と変形できます。

f′（x）=0を解くと、

(-3x＋2k)x=0

x=0,2k/3

増減表を書くと

(問題文よりk>0です。)

f(0)=0

f(2k/3)=(2k/3)²（k−2k/3）

            =4k²/9・k/3

            =4k³/27

よって

x＝0のとき、f（x）は極小値0をとります。

導関数
f′(x) = −3x² + 2kx

f′(x) = 0 より
x(−3x+2k) = 0
x=0 または x=2k/3

2階導関数
f″(x)=−6x+2k

x = 0 のとき
f″(0) = 2k > 0 より、極小値をとります。