大学入学共通テスト（数学）過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問67 (数学Ⅱ・数学B（第2問）問3)

問題文

〔1〕（1）kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
f（x）＝x²（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［　ア　］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（　イウ　）x²＋（　エ　）kx
である。
x＝（　オ　）のとき、f（x）は極小値（　カ　）をとる。
x＝（　キ　）のとき、f（x）は極大値（　ク　）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（　キ　）のときf（x）は最大となることがわかる。

（　オ　）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。

付箋

イエロー
グリーン
ブルー
レッド

付箋は自分だけが見れます（非公開です）。

このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、「新しく出題する（ここをクリック）」をご利用ください。

この過去問の解説（2件）

f（x）=x²（k−x）
　　=−x³+kx²
これを微分すると、
f′（x）＝-3x²＋2kx

f′（x）は

f′（x）＝(-3x＋2k)x

と変形できます。

f′（x）=0を解くと、

(-3x＋2k)x=0

x=0,2k/3

増減表を書くと

(問題文よりk>0です。)

…

2k/3

…

f'(x)

f(x)

↘

極小

↗

4k³/27

極大

↘

f(0)=0

f(2k/3)=(2k/3)²（k−2k/3）

=4k²/9・k/3

=4k³/27

よって

x＝0のとき、f（x）は極小値0をとります。

選択肢1. 0

正解です。

参考になった数0

この解説の修正を提案する

次の問題は下へ

導関数
f′(x) = −3x² + 2kx

f′(x) = 0 より
x(−3x+2k) = 0
x=0 または x=2k/3

2階導関数
f″(x)=−6x+2k

x = 0 のとき
f″(0) = 2k > 0 より、極小値をとります。

選択肢1. 0

この解答は導出の手順・計算結果ともに正しく、論理的に正しいです。

選択肢2. （1／3）k