共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問66 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問2)
問題文
〔1〕（1）kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（ イウ ）、（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（ イウ ）、（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問66（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
〔1〕（1）kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（ イウ ）、（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（ イウ ）、（ エ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
- イウ：−2 エ：1
- イウ：−2 エ：2
- イウ：−3 エ：1
- イウ：−3 エ：2
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この過去問の解説 （3件）
01
f(x) = x2(k - x) = -x3+kx2
この式を x で微分すると導関数は次のようになります。
f '(x) = -3x2 +2kx
イウ：-3 エ：2 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
f(x) は積の形になっているので積の微分公式も使えますが、
本設問では展開してから微分するほうが速く解けると思われます。
x での微分であり、k は定数である事に注意しましょう。
正負の符号の間違いがないかにも注意しましょう。
xn を x で微分したときの導関数は nxn-1 となります。
もし微分の公式を覚えるのが苦手である場合は、
公式の n に数値を当てはめるというよりは、
本設問で「x3 を微分すると導関数は 3x2 になる」といったように、
具体的な関数での計算で微分に慣れるとよいかと思われます。
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02
f（x）=x2（k−x）
=−x3+kx2
これを微分すると、
f′（x）＝-3x2＋2kx
不正解です。
不正解です。
不正解です。
正解です。
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03
f(x) = x²(k − x)
展開すると
f(x) = kx² − x³
微分すると
f′(x) = 2kx − 3x²
すなわちf′(x) = − 3x²+2kx
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
この解答は導出の手順・計算結果ともに正しく、論理的に正しいです。
基本的な微分のやり方を確認しておきましょう
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