共通テスト（数学）過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問69 (数学Ⅱ・数学B（第2問）問5)

問題文

〔1〕（1）kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
f（x）＝x²（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［　ア　］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（　イウ　）x²＋（　エ　）kx
である。
x＝（　オ　）のとき、f（x）は極小値（　カ　）をとる。
x＝（　キ　）のとき、f（x）は極大値（　ク　）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（　キ　）のときf（x）は最大となることがわかる。

（　キ　）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。

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この過去問の解説（3件）

設問（オ）での考察により、
f '(2k/3) = 0 であり x = 2k/3 で f(x) は極大となります。
問題文より k > 0 である事に注意します。

「(2/3)k」の選択肢が設問（キ）の解答となります。

設問（オ）

f '(x) = -3x2 +2kx =-x(3x - 2k)
問題文の冒頭から k > 0 である事と、
導関数が上に凸（とつ）の2次関数である事に注意します。

導関数は 0 より大きく 2k/3 未満の範囲で正であり、
x = 0 と x = 2k/3 で 0 となり、
それ以外の範囲では負となります。

よって f(x) の増減は x の増加に対応して次のようになります。
「0未満で減少」→「0で極小」→「2k/3 未満まで増加」→「2k/3で極大」→「それ以降は減少」
x = 0 のとき、f(x) は極小となります。

選択肢1. 0

x = 0 は f(x) が「極小」となる値です。
導関数が上に凸（とつ）の2次関数になる事と、
問題文の k > 0 の条件に注意しましょう。

選択肢4. （2／3）k

x = 2k/3 の前後で導関数は正から負に転じるので、
もとの関数は x = 2k/3 を境に「増加」から「減少」に転じ、
x = 2k/3 で極大となる事が分かります。

設問（オ）より再掲（増減表と導関数のグラフ）

k > 0 の条件に注意して増減表を作ると、次のようになります。
描かれているグラフは「微分して求めた導関数」のものです。

選択肢6. （3／2）k

分子と分母の値が逆です。

考え方は合っていても不注意で選んでしまわないように気を付けましょう。

まとめ

関数が極大となる x の値を求める設問です。
微分をして、
導関数が「正」→「0」→「負」となる範囲を探します。
そのときにもとの関数は、
「増加」→「極大」→「減少」となります。
このときの導関数が 0 になる x の値が、
もとの関数が極大となる x の値です。

参考になった数0

この解説の修正を提案する

f（x）=x²（k−x）
　　=−x³+kx²
これを微分すると、
f′（x）＝-3x²＋2kx

f′（x）は

f′（x）＝(-3x＋2k)x

と変形できます。

f′（x）=0を解くと、

(-3x＋2k)x=0

x=0,2k/3

増減表を書くと

(問題文よりk>0です。)

…

2k/3

…

f'(x)

f(x)

↘

極小

↗

4k³/27

極大

↘

f(0)=0

f(2k/3)=(2k/3)²（k−2k/3）

=4k²/9・k/3

=4k³/27

よって

x＝(2/3)kのとき、f（x）は極大値4k³/27をとります。

選択肢4. （2／3）k

正解です。

参考になった数0

この解説の修正を提案する

f′(x)=0 より
x(−3x+2k)=0
x=0 または x=2k/3

2階導関数
f″(x) = −6x+2k

x = 2k/3のとき
f″(2k/3) = −6(2k/3)+2k =−4k+2k=−2k < 0 より、極大値をとります。

選択肢1. 0