共通テスト（数学）過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問70 (数学Ⅱ・数学B（第2問）問6)

問題文

〔1〕（1）kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
f（x）＝x²（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［　ア　］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（　イウ　）x²＋（　エ　）kx
である。
x＝（　オ　）のとき、f（x）は極小値（　カ　）をとる。
x＝（　キ　）のとき、f（x）は極大値（　ク　）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（　キ　）のときf（x）は最大となることがわかる。

（　ク　）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。

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この過去問の解説（3件）

設問（オ）と設問（キ）での考察により、
f '(2k/3) = 0 であり x = 2k/3 で f(x) は極大となり、
f (2k/3) = (2k/3)²・(k - 2k/3) = (2k/3)²・(k/3)
= 4k³/27 なので、
x = 2k/3 のとき、f (x) は極大値 4k³/27 をとります。

「(4/27)k³」の選択肢が設問（ク）の解答となります。

設問（キ）

設問（オ）での考察により、
f '(2k/3) = 0 であり x = 2k/3 で f(x) は極大となります。
問題文より k > 0 である事に注意します。

設問（オ）

f '(x) = -3x2 +2kx =-x(3x - 2k)
問題文の冒頭から k > 0 である事と、
導関数が上に凸（とつ）の2次関数である事に注意します。

導関数は 0 より大きく 2k/3 未満の範囲で正であり、
x = 0 と x = 2k/3 で 0 となり、
それ以外の範囲では負となります。

よって f(x) の増減は x の増加に対応して次のようになります。
「0未満で減少」→「0で極小」→「2k/3 未満まで増加」→「2k/3で極大」→「それ以降は減少」
x = 0 のとき、f(x) は極小となります。

選択肢1. 0

0 は f(x) の極小値です。
導関数が上に凸（とつ）の2次関数になる事と、
問題文の k > 0 の条件に注意しましょう。
本設問で f(x) に代入する値は x = 2k/3 です。

選択肢10. （4／27）k³

x = 2k/3 を f(x) の式に代入します。
一見するとやや面倒そうな計算ですが、
k -2k/3 = k/3 である事に注意すると計算結果が 4k³/27 にまとまります。

k >0 の条件に注意して、極小と極大の位置関係を間違えないように注意しましょう。

設問（オ）より再掲（増減表と導関数のグラフ）

k > 0 の条件に注意して増減表を作ると、次のようになります。
描かれているグラフは「微分して求めた導関数」のものです。

まとめ

f (x) が極大となる x の値を f(x) に代入する事で、f(x) の極大値を得ます。
問題文による k > 0 の条件に注意し、
極大となる x の値を間違えないようにしましょう。
x = 2k/3 を代入する計算も、一見するとやや複雑なので計算に注意が必要です。

参考になった数0

この解説の修正を提案する

f（x）=x²（k−x）
　　=−x³+kx²
これを微分すると、
f′（x）＝-3x²＋2kx

f′（x）は

f′（x）＝(-3x＋2k)x

と変形できます。

f′（x）=0を解くと、

(-3x＋2k)x=0

x=0,2k/3

増減表を書くと

(問題文よりk>0です。)

…

2k/3

…

f'(x)

f(x)

↘

極小

↗

4k³/27

極大

↘

f(0)=0

f(2k/3)=(2k/3)²（k−2k/3）

=4k²/9・k/3

=4k³/27

よって

x＝(2/3)kのとき、f（x）は極大値(4/27)k³をとります。

選択肢10. （4／27）k³

正解です。

参考になった数0

この解説の修正を提案する

x=2k/3を代入して

f(2k/3)=(2k/3)² × (k−2k/3)
=(4k²/9)×(k/3)
= 4k³/27

選択肢1. 0