共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問71 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問7)
問題文
〔1〕（1）kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（2）後の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐（すい）に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれx、Vとする。Vをxの式で表すと
V＝（［ ケ ］／［ コ ］）πx2（［ サ ］−x） （0＜x＜9）
である。（1）の考察より、x＝（ シ ）のときVは最大となることがわかる。Vの最大値は（ スセソ ）πである。
（ ケ ）、（ コ ）、（ サ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（2）後の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐（すい）に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれx、Vとする。Vをxの式で表すと
V＝（［ ケ ］／［ コ ］）πx2（［ サ ］−x） （0＜x＜9）
である。（1）の考察より、x＝（ シ ）のときVは最大となることがわかる。Vの最大値は（ スセソ ）πである。
（ ケ ）、（ コ ）、（ サ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問71（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
〔1〕（1）kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（2）後の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐（すい）に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれx、Vとする。Vをxの式で表すと
V＝（［ ケ ］／［ コ ］）πx2（［ サ ］−x） （0＜x＜9）
である。（1）の考察より、x＝（ シ ）のときVは最大となることがわかる。Vの最大値は（ スセソ ）πである。
（ ケ ）、（ コ ）、（ サ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
f（x）＝x2（k−x）
y＝f（x）のグラフとx軸との共有点の座標は（0，0）と（［ ア ］，0）である。
f（x）の導関数f′（x）は
f′（x）＝（ イウ ）x2＋（ エ ）kx
である。
x＝（ オ ）のとき、f（x）は極小値（ カ ）をとる。
x＝（ キ ）のとき、f（x）は極大値（ ク ）をとる。
また、0＜x＜kの範囲においてx＝（ キ ）のときf（x）は最大となることがわかる。
（2）後の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐（すい）に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれx、Vとする。Vをxの式で表すと
V＝（［ ケ ］／［ コ ］）πx2（［ サ ］−x） （0＜x＜9）
である。（1）の考察より、x＝（ シ ）のときVは最大となることがわかる。Vの最大値は（ スセソ ）πである。
（ ケ ）、（ コ ）、（ サ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
- ケ：4 コ：3 サ：9
- ケ：5 コ：3 サ：9
- ケ：6 コ：4 サ：8
- ケ：5 コ：2 サ：8
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この過去問の解説 （3件）
01
求める V と、式に使う半径 x は「円柱」のものです。
円柱の高さが分かっていないので、図形的な関係から計算します。
三角錐の頂点と中心を通る断面図を考えて、
円柱の高さを h とすると三角形の相似関係により、
h/(9 - x) = 15/9
⇔ h = 15(9 - x)/9 = (5/3)・(9 - x)
円柱の底面積は πx2なので、
V = h・ πx2 = (5/3)・πx2・(9 - x)
ケ：5 コ：3 サ：9 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
三角形の相似関係から計算できます。
途中計算の h = 15(9 - x)/9 = (5/3)・(9 - x) は、
設問の空欄の形に合わせて式を整理しています。
本設問は図形的な問題です。
円柱の体積は（底面積）・（高さ）で計算できます。
ただし問題文の続きを読むと分かるように、
問題文（1）および次の設問の微分の問題と直結する事になります。
計算間違いがないか、よくチェックしましょう。
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02
円柱の高さをhとします。
上の図より、
三角形OABと三角形O'AB'は相似なので、
9:15=9-x:h
3h=5(9-x)
h=(5/3)(9-x)
円柱の体積Vは
底面積×高さで表せるから、
V=πx2・(5/3)(9-x)
=(5/3)πx2(9-x)
(0<x<9)
となります。
不正解です。
正解です。
不正解です。
不正解です。
参考になった数0
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03
円柱の高さをhとします。
三角形の相似より、9-x : h = 9 : 15 となり、
これを解くと、
h = 5/3( 9-x )
となります。したがって、
V = πx2 × h
= 5/3 πx2( 9-x )
と表せます。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
この解答は導出の手順・計算結果ともに正しく、論理的に正しいです。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
この解答は導出の過程や計算結果に誤りが含まれており、不正解です。
どうやって円柱の高さを表すかがポイントです
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