共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問72 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問8)

問題文（1）設問（キ）および設問（ク）で、
f(x) = x²(k - x) の極大値について考察しています。
前問（ケ）～（サ）の結果より、
V = h・ πx² =  (5/3)・πx²・(9 - x)
この式で x²・(9 - x) の部分だけに着目すると、
設問（キ）より x = 2・9/3 = 6 のときに V は極大となり、
極大となる x の値が 0 < x < 9 となった事に注意して、
x = 6 の時に V は最大値となります。

「6」の選択肢が設問（シ）の解答となります。

前問（ケ）～（サ）

求める V と、式に使う半径 x は「円柱」のものです。
円柱の高さが分かっていないので、図形的な関係から計算します。

三角錐の頂点と中心を通る断面図を考えて、
円柱の高さを h とすると三角形の相似関係により、
h/(9 - x) = 15/9 
⇔ h = 15(9 - x)/9 = (5/3)・(9 - x)
円柱の底面積は πx²なので、
V = h・ πx² =  (5/3)・πx²・(9 - x)

設問（オ）と設問（キ）での考察により、
f '(2k/3) = 0 であり x = 2k/3 で f(x) は極大となり、
f (2k/3) = (2k/3)²・(k - 2k/3) = (2k/3)²・(k/3)
= 4k³/27 なので、
x = 2k/3 のとき、f (x) は極大値 4k³/27 をとります。

設問（キ）（ f(x) = x²(k - x) ）

設問（オ）での考察により、 
f '(2k/3) = 0 であり x = 2k/3 で f(x) は極大となります。
問題文より k > 0 である事に注意します。

設問（オ）（ f(x) = x²(k - x) ）

f '(x) = -3x2 +2kx =-x(3x - 2k)
問題文の冒頭から k > 0 である事と、
導関数が上に凸（とつ）の2次関数である事に注意します。

導関数は 0 より大きく 2k/3 未満の範囲で正であり、
x = 0 と x = 2k/3 で 0 となり、
それ以外の範囲では負となります 。
 

よって f(x) の増減は x の増加に対応して次のようになります。
「0未満で減少」→「0で極小」→「2k/3 未満まで増加」→「2k/3で極大」→「それ以降は減少」
x = 0 のとき、f(x) は極小となります。

(1)キの回答

 

f（x）=x²（k−x）

　　=−x³+kx²

これを微分すると、

f′（x）＝-3x²＋2kx

 

f′（x）は

f′（x）＝(-3x＋2k)x

と変形できます。

f′（x）=0を解くと、

(-3x＋2k)x=0

x=0,2k/3

 

増減表を書くと

(問題文よりk>0です。)

x	…	0	…	2k/3	…	k	…
f'(x)	-	0	+	0	-		-
f(x)	↘	0 極小	↗	4k3/27 極大	↘	0	↘

f(0)=0

f(2k/3)=(2k/3)²（k−2k/3）

            =4k²/9・k/3

            =4k³/27

 

よって

x＝(2/3)kのとき、f（x）は極大値4k³/27をとります。

(2)ケコサの回答

 

円柱の高さをhとします。

上の図より、

三角形OABと三角形O'AB'は相似なので、

9:15=9-x:h

3h=5(9-x)

h=(5/3)(9-x)

 

円柱の体積Vは
底面積×高さで表せるから、

V=πx²・(5/3)(9-x)

  =(5/3)πx²(9-x)

(0<x<9)

となります。

上の(1)キの回答より、

f（x）=x²（k−x）の0＜x＜kの範囲における最大値は

x＝(2/3)kのとき4k³/27

でした。

このことから、

k=9のとき

f（x）=x²（9−x）・・・①

の0＜x＜9における最大値は

x＝(2/3)・9=6のとき

4・9³/27=108

となります。

今回のVは、

①のグラフをy軸方向に5π/3倍したグラフになります。

つまり円柱の体積Vが最大となるのは、

①と同様x=6のときです。

（1）の関数 f(x)=x²(k−x) と形が同じなので、k=9とわかります

（1）の結果より、最大となるのはx=2k/3

k=9を代入
x=2×9/3=6