大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問72 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問8)

(1)キの回答

 

f（x）=x²（k−x）

　　=−x³+kx²

これを微分すると、

f′（x）＝-3x²＋2kx

 

f′（x）は

f′（x）＝(-3x＋2k)x

と変形できます。

f′（x）=0を解くと、

(-3x＋2k)x=0

x=0,2k/3

 

増減表を書くと

(問題文よりk>0です。)

x	…	0	…	2k/3	…	k	…
f'(x)	-	0	+	0	-		-
f(x)	↘	0 極小	↗	4k3/27 極大	↘	0	↘

f(0)=0

f(2k/3)=(2k/3)²（k−2k/3）

            =4k²/9・k/3

            =4k³/27

 

よって

x＝(2/3)kのとき、f（x）は極大値4k³/27をとります。

(2)ケコサの回答

 

円柱の高さをhとします。

上の図より、

三角形OABと三角形O'AB'は相似なので、

9:15=9-x:h

3h=5(9-x)

h=(5/3)(9-x)

 

円柱の体積Vは
底面積×高さで表せるから、

V=πx²・(5/3)(9-x)

  =(5/3)πx²(9-x)

(0<x<9)

となります。

上の(1)キの回答より、

f（x）=x²（k−x）の0＜x＜kの範囲における最大値は

x＝(2/3)kのとき4k³/27

でした。

このことから、

k=9のとき

f（x）=x²（9−x）・・・①

の0＜x＜9における最大値は

x＝(2/3)・9=6のとき

4・9³/27=108

となります。

今回のVは、

①のグラフをy軸方向に5π/3倍したグラフになります。

つまり円柱の体積Vが最大となるのは、

①と同様x=6のときです。

（1）の関数 f(x)=x²(k−x) と形が同じなので、k=9とわかります

（1）の結果より、最大となるのはx=2k/3

k=9を代入
x=2×9/3=6