共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問76 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問12)

本設問は、x/5 + 3 の 0 から t までの定積分で、
値が 400 となる t の値を求めるものです。

（厳密には求めるものは値が 400 となる「最小の t の値」ですが、本設問は不等式を考えなくても解けるものとなっています。）

設問（タチツ）から、
x/5 + 3 の原始関数で積分定数を除いたものは、
x²/10 + 3x です。

定積分で、引く分の x =0 を代入したものは 0 なので、

計算すべき定積分の値は x = t を代入した t²/10 +3t となります。

t²/10 + 3t = 400 とおくと、
t² + 30t - 4000 = 0
⇔ (t + 80)(t - 50) = 0
t > 0 を満たす解は、t = 50
(この因数分解は選択肢の値もヒントにしています。)

「50日後」の選択肢が設問（ノ）の解答となります。
 

設問（タチツ）

x/5 + 3 の原始関数で積分定数を除いたものを考えると、
x²/10 + 3x
x = 30 を代入すると、900/10 + 3・30 =90 +90 = 180
x = 0 を代入すると、0
よって求める定積分の値は、180 - 0 = 180 です。

積分記号を使って計算した場合は次の形になります。

この問題は問題文中の設定部分が重要で、

S(t)が400になるときのtの値を求める問題です。

つまり、

S(t)=∫₀^t((1/5)x+3)dxより

∫₀^t((1/5)x+3)dx=400

のときのtの値を求めます。

(左辺)=[(1/5)・x²/2+3x]₀^t

         =[x²/10+3x]₀^t

         =t²/10+3t

t²/10+3t=400

t²+30t=4000

t²+30t-4000=0

解の公式を利用すると、

t=(-30±√900+16000)/2

  =(-30±√16900)/2

  =-30±130/2

t>0より

t=50

よって開花日時は2月に入ってから

50日後です。