共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問78 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問14)

（※実数としての「日数の微小区間の長さ」と「気温」の積の和を、「気温の和」と略記します。）
問題文の S(t) は、
0 日目から t 日目までの「気温の和」を表しています。
 

問題文と設問（タチツ）より、
閉区間 [0, 30] の範囲の「気温の和」は 180です。
同じく問題文より、
閉区間 [30, 40] の範囲の「気温の和」は 115です。

よって、閉区間 [0, 40] の「気温の和」は、
180 + 115 = 295 です。

この時点ではまだ S(t) は 400 に達しません。
残りの必要な「気温の和」は、
400 - 295 = 105 < 115

ここで設問（ハ）の結果から、
x ≧ 30 における f(x)の定積分について、
[30, 40] の場合の結果の 115 よりも、

[40, 50] の場合のほうが定積分の値は大きいので、
t = 50 に達する前に S(t) は 400 に達します。

「40日後より後、かつ50日後より前」の選択肢が設問（ヒ）の解答となります。

設問（ハ）

x = 30 の時に x2/100 - x/6 + 5 > 0 となる事に注意します。
問題文より「x ≧ 30 の時に f(x) は増加する」事と、

x ≧ 30 で常に f(x) > 0 である事から、
同じ区間の長さで定積分した場合には閉区間 [30, 40] よりも、
閉区間 [40, 50] で定積分した値のほうが大きくなります。

この事は、定積分が「微小区間の長さと関数の値の積の和」について、

各微小区間の長さを 0 に近付けたときの極限値である事から分かります。

 

「閉区間 [30, 40] での定積分」 < 「閉区間 [40, 50] での定積分」なので、
「<」の選択肢が設問（ハ）の解答となります。

ハの回答

問題文より

「x≥30の範囲においてf(x)は増加する」とあります。

 

グラフが右上がりに増加しているので、

後の区間（40→50）の方が面積が大きくなります。

 

よってハは＜です。

0≦t≦30の範囲の面積は180

30≦t≦40の範囲の面積は115なので

0≦t≦40の範囲の面積は180+115=295です。

ハの回答より

40≦t≦50の範囲の面積は115より大きいので

0≦t≦50の範囲の面積は180+115+115=410

よりも大きいことがわかります。

よって、

面積が400になるtは40<t<50の部分にあります。

0→30の面積は180

30→40の面積は115

合計295になります

40→50の面積は（ハ）より30→40より大きいので

合計は295+115＝410より大きくなります

よって面積が400になるtは40<t<50の範囲にあります