共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問90 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問12)

式がそれほど複雑でない事と選択肢の値が限られている事から、
直接的に k の値を探してみましょう。
α² = k² （前問（タ）より）
4β² = 4(50 +k) = 200 +4k

α² ≧4β² となる k を探します。
16² = 256 で、200 + 4・16 = 264 より小さいです。
17² = 289 で、200 + 4・17 = 268 より大きいです。
よって、求める最小の k は 17 です。

「17」の選択肢が設問（チツ）の解答となります。
 

前問（タ）

問題文の確率変数の値 25 を標準正規分布にしたがうように変換します。
変換後の値を y₀ とすると、
設問（セ）（ソ）より期待値（平均）と分散が分かっているので、
y₀ = {25 - (50 + k)/2}/ [ √{(50 + k)/4} ]
=   (-k/2)/[ {√(50 + k)}/2 ]
= -k/{√(50 + k)}

 

本設問の空欄は -（タ）/√{(50 + k) という形なので、
「k」の選択肢が設問（タ）の解答となります。

設問（セ）

二項分布 B(n, p) の期待値は np で表されます。
本設問では試行回数が n = 50 + k であり、
「Sサイズ」が出る確率が 1/2 なので、
期待値は  (50 + k)・(1/2) = (50 + k)/2 となります。

設問（ソ）

二項分布 B(n, p) の分散は np(1-p) で表されます。
本設問では np =(50 +k)・(1/2) であり、
1 - p = 1/2 なので、
分散は  (50 + k)・(1/2) ・(1/2) = (50 + k)/4 です。

Y=(U_k-(50 + k)/2)/√((50+k)/4)とすると、Yは近似的に標準正規分布N(0，1)に従います。
ここでYの式を簡単にしておきます。
Y=(U_k-(50 + k)/2)/(√((50+k)/4))
Y=(U_k-(50+k)/2)/(√(50+k)/2)

 

ピーマン分類法で25袋作ることができる確率をp_kとするとp_k=P(25≦U_k≦25+k)となります。
中央のU_kをYに変形したいのですべての辺に(-(50+k)/2)を加えてから(√(50+k)/2)で割ります。

p_k=P(25≦U_k≦25+k)
 　=P(25-(50+k)/2≦U_k-(50+k)/2≦25+k-(50+k)/2)
　 =P(25-25-k/2≦U_k-(50+k)/2≦25+k-25-k/2)
　 =P(-k/2≦U_k-(50+k)/2≦k/2)
 　=P((-k/2)/(√(50+k)/2)≦(U_k-(50+k)/2)/(√(50+k)/2)≦(k/2)/(√(50+k)/2))
　 =P(-k/√(50+k)≦(U_k-(50+k)/2)/(√(50+k)/2)≦k/2/(√(50+k)/2))

　 =P(-k/√(50+k)≦Y≦k/2/(√(50+k)/2))

タはkなので、k=α、√(50+k)=βとおき、α/β≧2を満たす自然数kを考えます。
問題よりα²≧4β²を満たす最小の自然数k₀を考えます。

α²≧4β²
α²-4β²≧0
k²-4(√(50+k))²≧0
k²-4k-200≧0

k²-4k-200≧0を解の公式を利用して解きます。
ax²+bx+c=0の解はb=2b'ならば、x=(-b'±√(b'²-ac))/aとなることを利用します。
k≦(2-√(2²-1×(-200)))/1、(2+√(2²-1×(-200)))/1≦k
k≦2-√204、2+√204≦k
k≦2-2√51、2+2√51≦k
 

ここで、√51=7.14を用います。

kは自然数なので2+2√51≦kのみを考えます。
k≧2+2×7.14
k≧16.28
これを満たす最小の自然数k₀は
k₀＝17
となります。

Y=(U_k-(50 + k)/2)/√(50+k)/4とすると、

Yは近似的に標準正規分布N(0，1)に従います。

 

25袋作ることができる確率p_kは、

p_k=P(25≦U_k≦25+k)

    =P(25-(50 + k)/2≦U_k-(50 + k)/2≦25+k-(50 + k)/2)

    =P(-k/2≦U_k-(50 + k)/2≦k/2)

    =P(-k/2/√((50+k)/4)≦U_k-(50 + k)/2/√((50+k)/4)≦k/2/√((50+k)/4))

    =P(-k/√(50+k)≦Y≦k/√(50+k))

前問より

k=α,√(50+k)=β

α/β≧2を満たす自然数kを考えます。

α²≧4β²を解きます。

k²≧4(50+k)

k²≧200+4k

k²-4k-200≧0

k²-4k-200=0を解くと、

解の公式より

k=(4±√(16+800))/2

  =(4±√816)/2

  =(4±4√51)/2

√51=7.14より

k=(4+28.56)/2

  =32.56/2

  =16.28

または

k=(4-28.56)/2

  =-24.56/2

  =-12.28

kは自然数なので

k=16.28

k²-4k-200≧0の解は、

k≧16.28より

最小の自然数k₀は17