共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問89 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問11)

問題文の確率変数の値 25 を標準正規分布にしたがうように変換します。
変換後の値を y₀ とすると、
設問（セ）（ソ）より期待値（平均）と分散が分かっているので、
y₀ = {25 - (50 + k)/2}/ [ √{(50 + k)/4} ]
=   (-k/2)/[ {√(50 + k)}/2 ]
= -k/{√(50 + k)}

本設問の空欄は -（タ）/√{(50 + k) という形なので、
「k」の選択肢が設問（タ）の解答となります。

設問（セ）

二項分布 B(n, p) の期待値は np で表されます。
本設問では試行回数が n = 50 + k であり、
「Sサイズ」が出る確率が 1/2 なので、
期待値は  (50 + k)・(1/2) = (50 + k)/2 となります。

設問（ソ）

二項分布 B(n, p) の分散は np(1-p) で表されます。
本設問では np =(50 +k)・(1/2) であり、
1 - p = 1/2 なので、
分散は  (50 + k)・(1/2) ・(1/2) = (50 + k)/4 です。

ピーマンを無作為に(50 + k)個抽出したとき、Sサイズのピーマンの個数をを表す確率変数U_kは二項分布B(50+k,1/2)に従います。
(50+k)は十分に大きいので、U_kは近似的に正規分布に従います。

二項分布B(n,p)は、正規分布N(np,np(1-p))で近似できます。

よってセはnに(50+k)、pに1/2を代入すれば求めることができます。

(50+k)×1/2=(50+k)/2

よってソはnp(1-p)のnに(50+k)、pに1/2を代入すれば求めることができます。

(50+k)×1/2×(1-1/2)=(50+k)/4

Y=(U_k-(50 + k)/2)/√((50+k)/4)とすると、Yは近似的に標準正規分布N(0，1)に従います。
ここでYの式を簡単にしておきます。
Y=(U_k-(50 + k)/2)/(√((50+k)/4))
Y=(U_k-(50+k)/2)/(√(50+k)/2)

ピーマン分類法で25袋作ることができる確率をp_kとするとp_k=P(25≦U_k≦25+k)となります。
中央のU_kをYに変形したいのですべての辺に(-(50+k)/2)を加えてから(√(50+k)/2)で割ります。

p_k=P(25≦U_k≦25+k)
 　=P(25-(50+k)/2≦U_k-(50+k)/2≦25+k-(50+k)/2)
　 =P(25-25-k/2≦U_k-(50+k)/2≦25+k-25-k/2)
　 =P(-k/2≦U_k-(50+k)/2≦k/2)
 　=P((-k/2)/(√(50+k)/2)≦(U_k-(50+k)/2)/(√(50+k)/2)≦(k/2)/(√(50+k)/2))
　 =P(-k/√(50+k)≦(U_k-(50+k)/2)/(√(50+k)/2)≦k/2/(√(50+k)/2))

　 =P(-k/√(50+k)≦Y≦k/2/(√(50+k)/2))

ピーマンを無作為に(50 + k)個抽出したとき、

Sサイズのピーマンの個数をを表す確率変数U_kは

二項分布B(50+k,1/2)に従います。

(50+k)は十分に大きいので、

U_kは近似的に正規分布に従います。

 

二項分布 B(n, p) の正規近似：

平均：np

分散：np(1-p)

 

B(50+k,1/2)なので、

平均は

(50+k)×1/2=(50 + k)/2

分散は

(50+k)×1/2×(1-1/2)=(50+k)/4

Y=(U_k-(50 + k)/2)/√(50+k)/4とすると、

Yは近似的に標準正規分布N(0，1)に従います。

25袋作ることができる確率p_kは、

p_k=P(25≦U_k≦25+k)

    =P(25-(50 + k)/2≦U_k-(50 + k)/2≦25+k-(50 + k)/2)

    =P(-k/2≦U_k-(50 + k)/2≦k/2)

    =P(-k/2/√((50+k)/4)≦U_k-(50 + k)/2/√((50+k)/4)≦k/2/√((50+k)/4))

    =P(-k/√(50+k)≦Y≦k/√(50+k))