大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和5年度（2023年度）本試験
問95 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問5)
問題文
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1％で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
（ オ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
（ オ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和5年度（2023年度）本試験 問95（数学Ⅱ・数学B（第4問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら）
花子さんは、毎年の初めに預金口座に一定額の入金をすることにした。この入金を始める前における花子さんの預金は10万円である。ここで、預金とは預金口座にあるお金の額のことである。預金には年利1％で利息がつき、ある年の初めの預金がx万円であれば、その年の終わりには預金は1.01x万円となる。次の年の初めには1.01x万円に入金額を加えたものが預金となる。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
（ オ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
毎年の初めの入金額をp万円とし、n年目の初めの預金をan万円とおく。ただし、p＞0とし、nは自然数とする。
例えば、a1＝10＋p、a2＝1.01（10＋p）＋pである。
（1）anを求めるために二つの方針で考える。
＜方針1＞
n年目の初めの預金と（n＋1）年目の初めの預金との関係に着目して考える。
3年目の初めの預金a3万円について、a3＝（ ア ）である。すべての自然数nについて
an＋1＝（ イ ）an＋（ ウ ）
が成り立つ。これは
an＋1＋（ エ ）＝（ オ ）（an＋［ エ ］）
と変形でき、anを求めることができる。
（ オ ）にあてはまるものを次のうちから1つ選べ。
- 1.01
- 1.01n−1
- 1.01n
- p
- 100p
- np
- 100np
- 1.01n−1✕100p
- 1.01n✕100p
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （3件）
01
an+1=1.01an+pを問題に沿った式に変形するためにan+1+α=1.01（an+α）となるようなαを求めます。
an+1=1.01（an+α）-α
an+1=1.01an+1.01α-α
an+1=1.01an+0.01α
よって、p=0.01αとなるのでα=100pとなります。
an+1+100p=1.01（an+100p）となります。
正解の選択肢です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
前問までで、次のことを確認しました。
n年目の初めの預金がaₙ万円なら、その年の終わりには利息で1.01aₙ万円になります。
その次の年の初めには、そこへp万円を入金するので
aₙ₊₁＝1.01aₙ＋p
です。
さらに、この式を
aₙ₊₁＋（エ）＝（オ）（aₙ＋［エ］）
の形に直すために、前問で（エ）は100pと分かりました。
これが当てはまります。
実際に前問までの結果を使うと、
aₙ₊₁＝1.01aₙ＋p
に100pを足して
aₙ₊₁＋100p＝1.01aₙ+p+100p
となります。
右辺の p+100p は 101p なので、
aₙ₊₁＋100p＝1.01aₙ＋101p
です。
一方、
1.01(aₙ＋100p)=1.01aₙ+101p
なので、
aₙ₊₁＋100p＝1.01(aₙ＋100p)
となります。
したがって、（オ）は1.01です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
03
an+1＝1.01an+pを
an+1+α=1.01(an+α)・・・①
の形に変形します。
①を展開すると
an+1+α=1.01an+1.01α
an+1=1.01an+1.01α-α
元の式と比較して
p=1.01α-α
p=0.01α
α=100p
よって、
an+1+100p=1.01(an+100p)
正解です。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問94）へ
令和5年度（2023年度）本試験 問題一覧
次の問題（問96）へ